Номер 769, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 769, страница 186.

Условие.

769. Сократите дробь:

1) $\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$;

2) $\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-5\sqrt{2}}$;

3) $\frac{2-\sqrt{6}}{\sqrt{6}-3}$;

4) $\frac{4a-2}{2\sqrt{a}+\sqrt{2}}$;

5) $\frac{9a-b^2}{9a+6b\sqrt{a}+b^2}$;

6) $\frac{a\sqrt{a}-8}{a+2\sqrt{a}+4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы сократить дробь, представим в числителе число $3$ как $(\sqrt{3})^2$ и вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки. Затем сократим дробь на $\sqrt{3}$.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

2)

Для сокращения дроби разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки $\sqrt{5}$. В знаменателе сначала вынесем за скобки $\sqrt{2}$.

$\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - 5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 5)}$

Далее, в знаменателе из выражения $(\sqrt{5} - 5)$ вынесем за скобки $\sqrt{5}$: $\sqrt{5}(1 - \sqrt{5})$. Учитывая, что $\sqrt{5} - 1 = -(1 - \sqrt{5})$, получаем:

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}\sqrt{5}(1 - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}(-(1 - \sqrt{5}))}{\sqrt{10}(1 - \sqrt{5})} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$-\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3)

Разложим на множители числитель и знаменатель, вынеся за скобки $\sqrt{2}$ в числителе и $\sqrt{3}$ в знаменателе.

$\frac{2 - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - 3} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ и избавимся от иррациональности в знаменателе.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

4)

В числителе применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, представив $4a$ как $(2\sqrt{a})^2$ и $2$ как $(\sqrt{2})^2$.

$\frac{4a - 2}{2\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2}{2\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{a} - \sqrt{2})(2\sqrt{a} + \sqrt{2})}{2\sqrt{a} + \sqrt{2}}$

Сократив дробь на общий множитель $(2\sqrt{a} + \sqrt{2})$, получим:

$2\sqrt{a} - \sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{a} - \sqrt{2}$.

5)

Разложим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, а знаменатель свернем по формуле квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$. В данном случае $x=3\sqrt{a}$ и $y=b$.

$\frac{9a - b^2}{9a + 6b\sqrt{a} + b^2} = \frac{(3\sqrt{a})^2 - b^2}{(3\sqrt{a})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{a} \cdot b + b^2} = \frac{(3\sqrt{a} - b)(3\sqrt{a} + b)}{(3\sqrt{a} + b)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(3\sqrt{a} + b)$.

$\frac{3\sqrt{a} - b}{3\sqrt{a} + b}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{a} - b}{3\sqrt{a} + b}$.

6)

В числителе применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, представив $a\sqrt{a}$ как $(\sqrt{a})^3$ и $8$ как $2^3$.

$\frac{a\sqrt{a} - 8}{a + 2\sqrt{a} + 4} = \frac{(\sqrt{a})^3 - 2^3}{a + 2\sqrt{a} + 4} = \frac{(\sqrt{a} - 2)((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2)}{a + 2\sqrt{a} + 4} = \frac{(\sqrt{a} - 2)(a + 2\sqrt{a} + 4)}{a + 2\sqrt{a} + 4}$

Сократим дробь на общий множитель $(a + 2\sqrt{a} + 4)$.

$\sqrt{a} - 2$

Ответ: $\sqrt{a} - 2$.