Номер 766, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 766, страница 186.

Условие.

766. Разложите на множители многочлен:

1) $a^2 - 14ab + 40b^2$;

2) $12b^2 + bc - 6c^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $a^2 - 14ab + 40b^2$

Для разложения данного многочлена на множители, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Требуется найти два выражения, которые в сумме дают $-14ab$, а в произведении $40a^2b^2$. Однако проще представить средний член $-14ab$ в виде суммы двух других членов так, чтобы можно было применить метод группировки.

Ищем два числа, произведение которых равно коэффициенту при $b^2$ (40), а сумма равна коэффициенту при $ab$ (-14). По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 - 14x + 40 = 0$ корнями являются числа, сумма которых равна 14, а произведение 40. Такими числами являются 4 и 10.

Следовательно, мы можем разложить средний член $-14ab$ на два слагаемых: $-4ab$ и $-10ab$.

$a^2 - 14ab + 40b^2 = a^2 - 4ab - 10ab + 40b^2$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(a^2 - 4ab) + (-10ab + 40b^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a - 4b) - 10b(a - 4b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 4b)$ за скобки:

$(a - 4b)(a - 10b)$

Ответ: $(a - 4b)(a - 10b)$

2) $12b^2 + bc - 6c^2$

Этот многочлен является квадратным трехчленом относительно переменной $b$. Для его разложения на множители воспользуемся методом группировки. Для этого необходимо найти два числа, произведение которых равно произведению коэффициента при $b^2$ (12) и свободного члена ($-6c^2$), то есть $12 \cdot (-6c^2) = -72c^2$, а их сумма равна коэффициенту при среднем члене $bc$, то есть $c$.

Ищем два одночлена, произведение которых равно $-72c^2$, а сумма равна $c$. Такими одночленами являются $9c$ и $-8c$.

Действительно, $9c \cdot (-8c) = -72c^2$ и $9c + (-8c) = c$.

Теперь представим средний член $bc$ в виде суммы $9bc - 8bc$:

$12b^2 + bc - 6c^2 = 12b^2 + 9bc - 8bc - 6c^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(12b^2 + 9bc) - (8bc + 6c^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$3b(4b + 3c) - 2c(4b + 3c)$

Теперь вынесем общий множитель $(4b + 3c)$ за скобки:

$(4b + 3c)(3b - 2c)$

Ответ: $(4b + 3c)(3b - 2c)$