Номер 763, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 763, страница 186.

Условие.

763. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1};$

2) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 4}{x + 2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1}$

Для построения графика функции сначала найдем ее область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x - 1 \neq 0$

$x \neq 1$

Область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Разложим числитель $x^2 - 6x + 5$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$.

Подставим разложение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 1)(x - 5)}{x - 1}$

При условии, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$y = x - 5$

Графиком функции $y = x - 5$ является прямая линия. Однако, из-за ограничения $x \neq 1$, точка на этой прямой с абсциссой $x = 1$ должна быть исключена ("выколота").

Найдем ординату этой точки:

$y(1) = 1 - 5 = -4$

Таким образом, точка $(1; -4)$ не принадлежит графику функции.

Для построения прямой $y = x - 5$ найдем две любые точки, например:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
• Если $x = 5$, то $y = 5 - 5 = 0$. Точка $(5; 0)$.

Проводим прямую через эти две точки и отмечаем на ней выколотую точку $(1; -4)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой $(1; -4)$.

---

2) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Найдем область определения функции. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим каждое слагаемое в выражении для функции.

Для первой дроби $\frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3}$ разложим числитель на множители. Решим уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$x_1 = \frac{18}{6} = 3$; $x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Значит, $3x^2 - 10x + 3 = 3(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x - 1)$.

При $x \neq 3$, первая дробь равна: $\frac{(x - 3)(3x - 1)}{x - 3} = 3x - 1$.

Для второй дроби $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$ используем формулу разности квадратов в числителе: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

При $x \neq -2$, вторая дробь равна: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$y = (3x - 1) - (x - 2) = 3x - 1 - x + 2 = 2x + 1$

Итак, при $x \neq 3$ и $x \neq -2$ функция имеет вид $y = 2x + 1$. Графиком этой функции является прямая линия. На этой прямой нужно выколоть точки с абсциссами $x = 3$ и $x = -2$.

Найдем ординаты выколотых точек:

• При $x = 3$: $y = 2(3) + 1 = 7$. Выколотая точка $(3; 7)$.
• При $x = -2$: $y = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$. Выколотая точка $(-2; -3)$.

Для построения прямой $y = 2x + 1$ найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 2(0) + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2(1) + 1 = 3$. Точка $(1; 3)$.

Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотые точки $(3; 7)$ и $(-2; -3)$ пустыми кружками.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 2x + 1$ с выколотыми точками $(3; 7)$ и $(-2; -3)$.