Номер 764, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 764, страница 186.
№764 (с. 186)
Условие. №764 (с. 186)
скриншот условия

764. Постройте график функции:
1) $y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$;
2) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} - \frac{x^2 - x - 30}{x + 5}$.
Решение 1. №764 (с. 186)


Решение 2. №764 (с. 186)

Решение 3. №764 (с. 186)

Решение 4. №764 (с. 186)

Решение 5. №764 (с. 186)


Решение 6. №764 (с. 186)



Решение 7. №764 (с. 186)

Решение 8. №764 (с. 186)
1) $y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$
Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$x - 4 \neq 0$
$x \neq 4$
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Теперь упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель $x^2 - 2x - 8$ на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, числитель можно представить в виде произведения $(x - 4)(x + 2)$.
Подставим разложение в исходную функцию:
$y = \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 4}$
Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 4)$:
$y = x + 2$
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x + 2$ за исключением одной точки. Эта точка — та, в которой знаменатель исходной дроби обращается в ноль, то есть точка с абсциссой $x = 4$.
Найдем ординату этой "выколотой" точки, подставив $x = 4$ в упрощенное уравнение прямой:
$y = 4 + 2 = 6$
Значит, точка $(4; 6)$ не принадлежит графику функции. На графике она будет изображена в виде пустого кружка.
Для построения прямой $y = x + 2$ достаточно двух точек. Например:
Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
Если $x = -2$, то $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2; 0)$.
Строим прямую, проходящую через точки $(0; 2)$ и $(-2; 0)$, и отмечаем на ней выколотую точку $(4; 6)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(4; 6)$.
2) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} - \frac{x^2 - x - 30}{x + 5}$
Найдем область определения функции. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$
Область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Упростим каждую дробь в выражении. Для этого разложим их числители на множители.
Рассмотрим первую дробь $ \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} $. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Тогда $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.
Следовательно, при $x \neq -1$ имеем: $\frac{x^2 - x - 2}{x + 1} = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 1} = x - 2$.
Рассмотрим вторую дробь $ \frac{x^2 - x - 30}{x + 5} $. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -5$.
Тогда $x^2 - x - 30 = (x - 6)(x + 5)$.
Следовательно, при $x \neq -5$ имеем: $\frac{x^2 - x - 30}{x + 5} = \frac{(x - 6)(x + 5)}{x + 5} = x - 6$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную функцию:
$y = (x - 2) - (x - 6)$
Раскроем скобки:
$y = x - 2 - x + 6$
$y = 4$
Получили, что на всей области определения функция тождественно равна 4. Графиком функции $y = 4$ является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0; 4)$.
Однако, из-за ограничений области определения ($x \neq -1$ и $x \neq -5$), на этой прямой будут две выколотые точки.
Найдем координаты этих точек:
При $x = -1$, ордината $y=4$. Выколотая точка $(-1; 4)$.
При $x = -5$, ордината $y=4$. Выколотая точка $(-5; 4)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = 4$ с выколотыми точками $(-1; 4)$ и $(-5; 4)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 764 расположенного на странице 186 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №764 (с. 186), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.