Номер 764, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 764, страница 186.

Условие.

764. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$;

2) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} - \frac{x^2 - x - 30}{x + 5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x - 4 \neq 0$

$x \neq 4$

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель $x^2 - 2x - 8$ на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.

Используя теорему Виета, получаем:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, числитель можно представить в виде произведения $(x - 4)(x + 2)$.

Подставим разложение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 4}$

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 4)$:

$y = x + 2$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x + 2$ за исключением одной точки. Эта точка — та, в которой знаменатель исходной дроби обращается в ноль, то есть точка с абсциссой $x = 4$.

Найдем ординату этой "выколотой" точки, подставив $x = 4$ в упрощенное уравнение прямой:

$y = 4 + 2 = 6$

Значит, точка $(4; 6)$ не принадлежит графику функции. На графике она будет изображена в виде пустого кружка.

Для построения прямой $y = x + 2$ достаточно двух точек. Например:

Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.

Если $x = -2$, то $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2; 0)$.

Строим прямую, проходящую через точки $(0; 2)$ и $(-2; 0)$, и отмечаем на ней выколотую точку $(4; 6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(4; 6)$.

2) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} - \frac{x^2 - x - 30}{x + 5}$

Найдем область определения функции. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$

Область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Упростим каждую дробь в выражении. Для этого разложим их числители на множители.

Рассмотрим первую дробь $ \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} $. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Тогда $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Следовательно, при $x \neq -1$ имеем: $\frac{x^2 - x - 2}{x + 1} = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 1} = x - 2$.

Рассмотрим вторую дробь $ \frac{x^2 - x - 30}{x + 5} $. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -5$.

Тогда $x^2 - x - 30 = (x - 6)(x + 5)$.

Следовательно, при $x \neq -5$ имеем: $\frac{x^2 - x - 30}{x + 5} = \frac{(x - 6)(x + 5)}{x + 5} = x - 6$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную функцию:

$y = (x - 2) - (x - 6)$

Раскроем скобки:

$y = x - 2 - x + 6$

$y = 4$

Получили, что на всей области определения функция тождественно равна 4. Графиком функции $y = 4$ является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0; 4)$.

Однако, из-за ограничений области определения ($x \neq -1$ и $x \neq -5$), на этой прямой будут две выколотые точки.

Найдем координаты этих точек:

При $x = -1$, ордината $y=4$. Выколотая точка $(-1; 4)$.

При $x = -5$, ордината $y=4$. Выколотая точка $(-5; 4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 4$ с выколотыми точками $(-1; 4)$ и $(-5; 4)$.