Номер 767, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 767, страница 186.

Условие.

767. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a^2 - a - 6)x = a^2 - 9$;

2) $(a^2 - 8a + 7)x = 2a^2 - 13a - 7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Данное уравнение является линейным уравнением относительно переменной $x$ вида $kx = b$, где коэффициент $k = a^2 - a - 6$ и свободный член $b = a^2 - 9$. Решение уравнения зависит от значения коэффициента $k$.

Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю:

$a^2 - a - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются $a_1 = 3$ и $a_2 = -2$.

Теперь необходимо рассмотреть два этих значения параметра $a$ отдельно.

Случай 1: $a = 3$

Подставим $a = 3$ в исходное уравнение:

$(3^2 - 3 - 6)x = 3^2 - 9$

$(9 - 3 - 6)x = 9 - 9$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого действительного значения $x$. Следовательно, при $a = 3$ уравнение имеет бесконечно много решений.

Случай 2: $a = -2$

Подставим $a = -2$ в исходное уравнение:

$((-2)^2 - (-2) - 6)x = (-2)^2 - 9$

$(4 + 2 - 6)x = 4 - 9$

$0 \cdot x = -5$

Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, при $a = -2$ уравнение не имеет решений.

Случай 3: $a^2 - a - 6 \neq 0$

Этот случай имеет место, когда $a \neq 3$ и $a \neq -2$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$:

$x = \frac{a^2 - 9}{a^2 - a - 6}$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$

$a^2 - a - 6 = (a - 3)(a + 2)$

Подставим разложения в выражение для $x$:

$x = \frac{(a - 3)(a + 3)}{(a - 3)(a + 2)}$

Поскольку $a \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(a-3)$:

$x = \frac{a + 3}{a + 2}$

Это единственное решение уравнения для всех $a$, кроме 3 и -2.

Ответ: если $a = 3$, то $x$ — любое действительное число; если $a = -2$, то уравнение не имеет решений; если $a \neq 3$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{a + 3}{a + 2}$.

2)

Данное уравнение является линейным уравнением относительно переменной $x$ вида $kx = b$, где коэффициент $k = a^2 - 8a + 7$ и свободный член $b = 2a^2 - 13a - 7$. Решение уравнения зависит от значения коэффициента $k$.

Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю:

$a^2 - 8a + 7 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Корнями являются $a_1 = 1$ и $a_2 = 7$.

Теперь необходимо рассмотреть два этих значения параметра $a$ отдельно.

Случай 1: $a = 7$

Подставим $a = 7$ в исходное уравнение:

$(7^2 - 8 \cdot 7 + 7)x = 2 \cdot 7^2 - 13 \cdot 7 - 7$

$(49 - 56 + 7)x = 2 \cdot 49 - 91 - 7$

$0 \cdot x = 98 - 91 - 7$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого действительного значения $x$. Следовательно, при $a = 7$ уравнение имеет бесконечно много решений.

Случай 2: $a = 1$

Подставим $a = 1$ в исходное уравнение:

$(1^2 - 8 \cdot 1 + 7)x = 2 \cdot 1^2 - 13 \cdot 1 - 7$

$(1 - 8 + 7)x = 2 - 13 - 7$

$0 \cdot x = -18$

Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, при $a = 1$ уравнение не имеет решений.

Случай 3: $a^2 - 8a + 7 \neq 0$

Этот случай имеет место, когда $a \neq 1$ и $a \neq 7$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$:

$x = \frac{2a^2 - 13a - 7}{a^2 - 8a + 7}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Для знаменателя: $a^2 - 8a + 7 = (a - 1)(a - 7)$.

Для числителя $2a^2 - 13a - 7$ найдем корни уравнения $2a^2 - 13a - 7 = 0$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$

$a = \frac{13 \pm 15}{4}$, откуда $a_1 = \frac{28}{4} = 7$ и $a_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Следовательно, $2a^2 - 13a - 7 = 2(a-7)(a + \frac{1}{2}) = (a-7)(2a+1)$.

Подставим разложения в выражение для $x$:

$x = \frac{(a-7)(2a+1)}{(a-1)(a-7)}$

Поскольку $a \neq 7$, мы можем сократить дробь на $(a-7)$:

$x = \frac{2a+1}{a-1}$

Это единственное решение уравнения для всех $a$, кроме 1 и 7.

Ответ: если $a = 7$, то $x$ — любое действительное число; если $a = 1$, то уравнение не имеет решений; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x = \frac{2a+1}{a-1}$.