Номер 773, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 773, страница 187.

Условие.

773. Решите уравнение:

1) $\frac{4x - 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 2};$

2) $\frac{2y^2 - 3y - 20}{y - 4} = 1;$

3) $\frac{5x - 3}{x + 1} - \frac{4x - 2}{x + 2} = 1;$

4) $\frac{1}{y - 5} - \frac{1}{y + 4} = \frac{9}{(y - 5)(y + 4)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{4x-1}{x-2} = \frac{x+5}{x-2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Поскольку знаменатели дробей в уравнении равны, мы можем приравнять их числители, при условии, что $x$ входит в ОДЗ:
$4x - 1 = x + 5$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую:
$4x - x = 5 + 1$
$3x = 6$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы получили $x = 2$, но согласно ОДЗ $x \neq 2$. Это означает, что найденное значение является посторонним корнем, и данное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

2) $\frac{2y^2 - 3y - 20}{y - 4} - y = 1$

Определим ОДЗ. Знаменатель не должен равняться нулю:
$y - 4 \neq 0 \implies y \neq 4$.

Перенесем $-y$ в правую часть уравнения:
$\frac{2y^2 - 3y - 20}{y - 4} = y + 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(y-4)$, так как по ОДЗ он не равен нулю:
$2y^2 - 3y - 20 = (y + 1)(y - 4)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$2y^2 - 3y - 20 = y^2 - 4y + y - 4$
$2y^2 - 3y - 20 = y^2 - 3y - 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$2y^2 - y^2 - 3y + 3y - 20 + 4 = 0$
$y^2 - 16 = 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(y - 4)(y + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$y - 4 = 0 \implies y_1 = 4$
$y + 4 = 0 \implies y_2 = -4$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1 = 4$ не удовлетворяет условию $y \neq 4$, следовательно, это посторонний корень. Корень $y_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ и является решением уравнения.

Ответ: -4.

3) $\frac{5x-3}{x+1} - \frac{4x-2}{x+2} = 1$

Определим ОДЗ, исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x+2)$:
$\frac{(5x-3)(x+1)(x+2)}{x+1} - \frac{(4x-2)(x+1)(x+2)}{x+2} = 1 \cdot (x+1)(x+2)$
$(5x-3)(x+2) - (4x-2)(x+1) = (x+1)(x+2)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:
$(5x^2 + 10x - 3x - 6) - (4x^2 + 4x - 2x - 2) = (x^2 + 2x + x + 2)$
$(5x^2 + 7x - 6) - (4x^2 + 2x - 2) = x^2 + 3x + 2$

Раскроем вторые скобки в левой части, меняя знаки:
$5x^2 + 7x - 6 - 4x^2 - 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x^2 + 5x - 4 = x^2 + 3x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 - x^2 + 5x - 3x - 4 - 2 = 0$
$2x - 6 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:
$2x = 6$
$x = 3$

Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq -2$), поэтому является решением.

Ответ: 3.

4) $\frac{1}{y-5} - \frac{1}{y+4} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$

Определим ОДЗ:
$y - 5 \neq 0 \implies y \neq 5$
$y + 4 \neq 0 \implies y \neq -4$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(y-5)(y+4)$:
$\frac{1 \cdot (y+4)}{(y-5)(y+4)} - \frac{1 \cdot (y-5)}{(y-5)(y+4)} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$
$\frac{(y+4) - (y-5)}{(y-5)(y+4)} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$

Упростим числитель в левой части:
$\frac{y+4 - y+5}{(y-5)(y+4)} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$
$\frac{9}{(y-5)(y+4)} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$

Мы получили тождество, то есть верное равенство, которое не зависит от значения переменной $y$. Это означает, что решением уравнения являются все значения $y$ из области допустимых значений.

Ответ: все числа, кроме $y=5$ и $y=-4$.