Номер 779, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 779, страница 191.

Условие.

779. Решите уравнение:

1) $(x + 3)^4 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0;$

2) $(2x + 1)^4 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0;$

3) $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0;$

4) $(x - 4)^4 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(x + 3)^4 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x+3)$.
Введем замену переменной. Пусть $t = (x + 3)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 < 0$, поэтому этот корень является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 4$.
$(x + 3)^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + 3 = 2$ или $x + 3 = -2$
$x_1 = 2 - 3 = -1$
$x_2 = -2 - 3 = -5$

Ответ: -5; -1.

2) $(2x + 1)^4 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: $t = (2x + 1)^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня.
Случай 1: $t = 1$
$(2x + 1)^2 = 1$
$2x + 1 = 1$ или $2x + 1 = -1$
$2x = 0 \implies x_1 = 0$
$2x = -2 \implies x_2 = -1$

Случай 2: $t = 9$
$(2x + 1)^2 = 9$
$2x + 1 = 3$ или $2x + 1 = -3$
$2x = 2 \implies x_3 = 1$
$2x = -4 \implies x_4 = -2$

Ответ: -2; -1; 0; 1.

3) $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0$

Введем замену переменной: $t = (6x - 7)^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$t^2 + 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: сумма корней равна -4, произведение равно 3. Отсюда корни $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$.
Оба корня не удовлетворяют условию $t \ge 0$, так как $-1 < 0$ и $-3 < 0$.
Следовательно, уравнение для $t$ не имеет неотрицательных корней, а значит и исходное уравнение не имеет действительных корней.
Другой способ: для любого действительного $x$, выражение $(6x-7)^4 \ge 0$ и $4(6x-7)^2 \ge 0$. Тогда левая часть уравнения $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3$. Так как левая часть всегда больше или равна 3, она никогда не может быть равна 0.

Ответ: корней нет.

4) $(x - 4)^4 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0$

Введем замену переменной: $t = (x - 4)^2$, где $t \ge 0$.
Получим уравнение:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.
$t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 < 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 2$.
$(x - 4)^2 = 2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x - 4 = \sqrt{2}$ или $x - 4 = -\sqrt{2}$
$x_1 = 4 + \sqrt{2}$
$x_2 = 4 - \sqrt{2}$

Ответ: $4 - \sqrt{2}$; $4 + \sqrt{2}$.