Номер 779, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 779, страница 191.
№779 (с. 191)
Условие. №779 (с. 191)
скриншот условия

779. Решите уравнение:
1) $(x + 3)^4 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0;$
2) $(2x + 1)^4 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0;$
3) $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0;$
4) $(x - 4)^4 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0.$
Решение 1. №779 (с. 191)




Решение 2. №779 (с. 191)

Решение 3. №779 (с. 191)

Решение 4. №779 (с. 191)

Решение 5. №779 (с. 191)


Решение 6. №779 (с. 191)



Решение 7. №779 (с. 191)

Решение 8. №779 (с. 191)
1) $(x + 3)^4 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0$
Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x+3)$.
Введем замену переменной. Пусть $t = (x + 3)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Тогда исходное уравнение примет вид:
$t^2 - 3t - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 < 0$, поэтому этот корень является посторонним.
Вернемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 4$.
$(x + 3)^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + 3 = 2$ или $x + 3 = -2$
$x_1 = 2 - 3 = -1$
$x_2 = -2 - 3 = -5$
Ответ: -5; -1.
2) $(2x + 1)^4 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: $t = (2x + 1)^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$t^2 - 10t + 9 = 0$
Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня.
Случай 1: $t = 1$
$(2x + 1)^2 = 1$
$2x + 1 = 1$ или $2x + 1 = -1$
$2x = 0 \implies x_1 = 0$
$2x = -2 \implies x_2 = -1$
Случай 2: $t = 9$
$(2x + 1)^2 = 9$
$2x + 1 = 3$ или $2x + 1 = -3$
$2x = 2 \implies x_3 = 1$
$2x = -4 \implies x_4 = -2$
Ответ: -2; -1; 0; 1.
3) $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0$
Введем замену переменной: $t = (6x - 7)^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 + 4t + 3 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: сумма корней равна -4, произведение равно 3. Отсюда корни $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$.
Оба корня не удовлетворяют условию $t \ge 0$, так как $-1 < 0$ и $-3 < 0$.
Следовательно, уравнение для $t$ не имеет неотрицательных корней, а значит и исходное уравнение не имеет действительных корней.
Другой способ: для любого действительного $x$, выражение $(6x-7)^4 \ge 0$ и $4(6x-7)^2 \ge 0$. Тогда левая часть уравнения $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3$. Так как левая часть всегда больше или равна 3, она никогда не может быть равна 0.
Ответ: корней нет.
4) $(x - 4)^4 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0$
Введем замену переменной: $t = (x - 4)^2$, где $t \ge 0$.
Получим уравнение:
$t^2 + 2t - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.
$t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 < 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 2$.
$(x - 4)^2 = 2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x - 4 = \sqrt{2}$ или $x - 4 = -\sqrt{2}$
$x_1 = 4 + \sqrt{2}$
$x_2 = 4 - \sqrt{2}$
Ответ: $4 - \sqrt{2}$; $4 + \sqrt{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 779 расположенного на странице 191 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №779 (с. 191), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.