Номер 780, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 780, страница 191.

Условие.

780. Решите уравнение:

1) $(3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0;$

2) $(2x + 3)^4 - 24(2x + 3)^2 - 25 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(3x - 1)$. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $y = (3x - 1)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение и получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 20y + 64 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 = 12^2$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Оба найденных значения для $y$ ($16$ и $4$) удовлетворяют условию $y \ge 0$, поэтому оба являются допустимыми решениями.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Случай 1: $y = 16$

$(3x - 1)^2 = 16$

Это уравнение распадается на два линейных:

$3x - 1 = 4 \quad \text{или} \quad 3x - 1 = -4$

Из первого уравнения: $3x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Из второго уравнения: $3x = -3 \implies x_2 = -1$

Случай 2: $y = 4$

$(3x - 1)^2 = 4$

Это уравнение также распадается на два линейных:

$3x - 1 = 2 \quad \text{или} \quad 3x - 1 = -2$

Из первого уравнения: $3x = 3 \implies x_3 = 1$

Из второго уравнения: $3x = -1 \implies x_4 = -\frac{1}{3}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; -\frac{1}{3}; 1; 1\frac{2}{3}$.

2) $(2x + 3)^4 - 24(2x + 3)^2 - 25 = 0$

Это уравнение также является биквадратным. Сделаем замену переменной.

Пусть $z = (2x + 3)^2$. По определению, $z \ge 0$.

После подстановки получаем квадратное уравнение относительно $z$:

$z^2 - 24z - 25 = 0$

Решим его. Можно применить теорему Виета: сумма корней равна $24$, а их произведение равно $-25$. Этим условиям удовлетворяют числа $25$ и $-1$.

$z_1 = 25$

$z_2 = -1$

Теперь проверим корни на соответствие условию $z \ge 0$.

Корень $z_1 = 25$ удовлетворяет условию, так как $25 \ge 0$.

Корень $z_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $z = 25$.

$(2x + 3)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два линейных уравнения:

$2x + 3 = 5 \quad \text{или} \quad 2x + 3 = -5$

Решаем первое уравнение:

$2x = 5 - 3 \implies 2x = 2 \implies x_1 = 1$

Решаем второе уравнение:

$2x = -5 - 3 \implies 2x = -8 \implies x_2 = -4$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-4; 1$.