Номер 775, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 775, страница 190.

Условие.

775. Решите уравнение:

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 + 6 = 0;$

3) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0;$

4) $x^4 + 14x^2 - 32 = 0;$

5) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0;$

6) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 5t + 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$

Получаем два корня для $t$:
$t_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$
$t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Оба корня ($t_1=1$ и $t_2=4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к замене $x^2 = t$:
1. $x^2 = t_1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
2. $x^2 = t_2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x_3 = 2, x_4 = -2$.

Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

2) $x^4 - 5x^2 + 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение превращается в квадратное: $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Легко подобрать корни $t_1=2$ и $t_2=3$.
Либо через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
$t = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$.
$t_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$
$t_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Оба корня положительные, поэтому оба подходят.

Возвращаемся к переменной $x$:
1. $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
2. $x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{3}$.

3) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$, ($t \ge 0$).
Получим уравнение $t^2 - 8t - 9 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
$t = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$.
$t_1 = \frac{8 - 10}{2} = -1$
$t_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Корень $t_2 = 9$ подходит.

Выполняем обратную замену: $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x = \pm3$.

Ответ: $-3; 3$.

4) $x^4 + 14x^2 - 32 = 0$

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Уравнение примет вид: $t^2 + 14t - 32 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324$.
$t = \frac{-14 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{-14 \pm 18}{2}$.
$t_1 = \frac{-14 - 18}{2} = -16$
$t_2 = \frac{-14 + 18}{2} = 2$

Корень $t_1 = -16$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = 2$ подходит.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

5) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0$

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Уравнение примет вид: $4t^2 - 9t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.
$t = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 7}{8}$.
$t_1 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$

Оба корня $t_1 = \frac{1}{4}$ и $t_2 = 2$ неотрицательные, поэтому оба подходят.

Делаем обратную замену:
1. $x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \implies x = \pm\frac{1}{2}$.
2. $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \sqrt{2}$.

6) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0$

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Уравнение примет вид: $3t^2 + 8t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$t = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}$.
$t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
$t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = \frac{1}{3}$ подходит.

Делаем обратную замену: $x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.