Номер 772, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 772, страница 187.

Условие.

772. Решите уравнение:

1) $x^2 = 9;$

2) $x^2 = -9;$

3) $(4x + 1)^2 = 9;$

4) $(x - 1)^2 = 5;$

5) $\sqrt{x} = 9;$

6) $\sqrt{x} = -9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 = 9$

Чтобы решить это уравнение, извлечем квадратный корень из обеих частей. Помним, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{9}$

$x = \pm3$

Таким образом, у уравнения два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

2) $x^2 = -9$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку в левой части уравнения стоит $x^2$ (которое всегда больше или равно нулю для любого действительного $x$), а в правой части — отрицательное число $-9$, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: корней нет.

3) $(4x + 1)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$4x + 1 = \pm\sqrt{9}$

$4x + 1 = \pm3$

Это приводит к двум отдельным линейным уравнениям:

Первый случай:
$4x + 1 = 3$
$4x = 3 - 1$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = 0.5$

Второй случай:
$4x + 1 = -3$
$4x = -3 - 1$
$4x = -4$
$x = -1$

Ответ: $-1; 0.5$.

4) $(x - 1)^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$x - 1 = \pm\sqrt{5}$

Это также приводит к двум решениям. Выразим $x$:

Первый случай:
$x - 1 = \sqrt{5}$
$x = 1 + \sqrt{5}$

Второй случай:
$x - 1 = -\sqrt{5}$
$x = 1 - \sqrt{5}$

Ответ: $1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}$.

5) $\sqrt{x} = 9$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат. Область допустимых значений для этого уравнения — $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = 9^2$

$x = 81$

Проверка: $\sqrt{81} = 9$. Решение верное, так как $81 \ge 0$.

Ответ: $81$.

6) $\sqrt{x} = -9$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) — это неотрицательное число. То есть, $\sqrt{x} \ge 0$ для любого $x$ из области определения.

Так как в правой части уравнения стоит отрицательное число $-9$, а в левой — неотрицательное значение, равенство невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.