Номер 765, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 765, страница 186.

Условие.

765. Разложите на множители многочлен:

1) $x^2 - 6xy + 5y^2;$

2) $a^2 + 5ab - 36b^2;$

3) $3m^2 - 8mn - 3n^2;$

4) $4x^2 - 5xy + y^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 - 6xy + 5y^2$

Для разложения этого многочлена на множители, представим его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Мы можем разложить средний член $-6xy$ на два слагаемых так, чтобы можно было применить метод группировки. Для этого нужно найти два числа, сумма которых равна $-6$, а произведение — $5$. Эти числа — $-1$ и $-5$.

Представим $-6xy$ как $-xy - 5xy$:

$x^2 - 6xy + 5y^2 = x^2 - xy - 5xy + 5y^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - xy) + (-5xy + 5y^2)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$x(x - y) - 5y(x - y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x - 5y)$

Ответ: $(x - y)(x - 5y)$

2) $a^2 + 5ab - 36b^2$

Рассмотрим многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Чтобы разложить его на множители методом группировки, представим средний член $5ab$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно коэффициенту свободного члена (в данном случае $-36$), а сумма равна коэффициенту при среднем члене (в данном случае $5$). Эти числа — $9$ и $-4$, так как $9 \cdot (-4) = -36$ и $9 + (-4) = 5$.

Представим $5ab$ как $9ab - 4ab$:

$a^2 + 5ab - 36b^2 = a^2 + 9ab - 4ab - 36b^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + 9ab) - (4ab + 36b^2)$

Вынесем общие множители за скобки из каждой группы:

$a(a + 9b) - 4b(a + 9b)$

Вынесем общий множитель $(a + 9b)$:

$(a + 9b)(a - 4b)$

Ответ: $(a + 9b)(a - 4b)$

3) $3m^2 - 8mn - 3n^2$

Для разложения этого многочлена используем метод группировки. Умножим коэффициент при $m^2$ на коэффициент при $n^2$: $3 \cdot (-3) = -9$. Теперь найдем два числа, произведение которых равно $-9$, а сумма равна коэффициенту при $mn$, то есть $-8$. Эти числа — $1$ и $-9$, так как $1 \cdot (-9) = -9$ и $1 + (-9) = -8$.

Разобьем средний член $-8mn$ на два слагаемых: $mn - 9mn$.

$3m^2 - 8mn - 3n^2 = 3m^2 + mn - 9mn - 3n^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(3m^2 + mn) - (9mn + 3n^2)$

Вынесем общие множители:

$m(3m + n) - 3n(3m + n)$

Вынесем общий множитель $(3m + n)$:

$(3m + n)(m - 3n)$

Ответ: $(3m + n)(m - 3n)$

4) $4x^2 - 5xy + y^2$

Разложим многочлен на множители, представив его как квадратный трехчлен. Применим метод группировки. Умножим коэффициент при $x^2$ на коэффициент при $y^2$: $4 \cdot 1 = 4$. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно $4$, а сумма — коэффициенту при $xy$, то есть $-5$. Эти числа — $-1$ и $-4$, так как $(-1) \cdot (-4) = 4$ и $(-1) + (-4) = -5$.

Представим средний член $-5xy$ как $-xy - 4xy$:

$4x^2 - 5xy + y^2 = 4x^2 - xy - 4xy + y^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(4x^2 - xy) + (-4xy + y^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(4x - y) - y(4x - y)$

Вынесем общий множитель $(4x - y)$:

$(4x - y)(x - y)$

Ответ: $(4x - y)(x - y)$