Номер 768, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 768, страница 186.

Условие.

768. Для каждого значения $a$ решите уравнение $(a^2 + 7a - 8)x = a^2 + 16a + 64$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение $(a^2 + 7a - 8)x = a^2 + 16a + 64$ является линейным относительно переменной $x$. Решение зависит от значения параметра $a$. Для решения проанализируем коэффициент при $x$ и правую часть уравнения.

Разложим на множители выражения в левой и правой частях уравнения.

Коэффициент при $x$: $a^2 + 7a - 8$. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $a^2 + 7a - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $-8$. Следовательно, корни это $a_1=1$ и $a_2=-8$. Тогда разложение на множители имеет вид: $a^2 + 7a - 8 = (a-1)(a+8)$.

Правая часть уравнения: $a^2 + 16a + 64$. Это выражение является полным квадратом суммы: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = (a+8)^2$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$(a-1)(a+8)x = (a+8)^2$

Далее рассмотрим три возможных случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a \neq 1$ и $a \neq -8$

В этом случае коэффициент при $x$, равный $(a-1)(a+8)$, не равен нулю. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Чтобы найти его, разделим обе части уравнения на $(a-1)(a+8)$:

$x = \frac{(a+8)^2}{(a-1)(a+8)}$

Поскольку $a \neq -8$, то множитель $(a+8)$ не равен нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$x = \frac{a+8}{a-1}$

Ответ: если $a \neq 1$ и $a \neq -8$, то $x = \frac{a+8}{a-1}$.

Случай 2: $a = 1$

Подставим значение $a=1$ в преобразованное уравнение $(a-1)(a+8)x = (a+8)^2$:

$(1-1)(1+8)x = (1+8)^2$

$0 \cdot 9 \cdot x = 9^2$

$0 \cdot x = 81$

Получилось равенство $0 = 81$, которое является неверным. Следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 1$, то корней нет.

Случай 3: $a = -8$

Подставим значение $a=-8$ в преобразованное уравнение $(a-1)(a+8)x = (a+8)^2$:

$(-8-1)(-8+8)x = (-8+8)^2$

$-9 \cdot 0 \cdot x = 0^2$

$0 \cdot x = 0$

Получилось равенство $0 = 0$, которое является верным для любого значения переменной $x$.

Ответ: если $a = -8$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).