Номер 774, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 774, страница 187.

Условие.

774. Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых – натуральные числа. Каких прямоугольников больше: с периметром 1000 или с периметром 1002?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи найдем количество уникальных прямоугольников для каждого из заданных периметров.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа ($a \ge 1, b \ge 1$). Периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Количество различных прямоугольников равно количеству уникальных пар сторон $\{a, b\}$. Так как порядок сторон не важен (прямоугольник со сторонами $a, b$ такой же, как и со сторонами $b, a$), мы можем для удобства и во избежание двойного счета принять, что $a \le b$.

Прямоугольники с периметром 1000

Для периметра $P = 1000$ имеем уравнение $2(a+b) = 1000$, что равносильно $a+b=500$. Мы ищем количество пар натуральных чисел $(a, b)$, удовлетворяющих этому уравнению при условии $a \le b$. Из $a \le b$ и $a+b=500$ следует, что $a+a \le a+b$, то есть $2a \le 500$, откуда $a \le 250$. Поскольку $a$ должно быть натуральным числом, оно может принимать любое целое значение в диапазоне $1 \le a \le 250$. Каждому такому значению $a$ соответствует единственное значение $b=500-a$, которое также является натуральным числом и удовлетворяет условию $b \ge a$. Таким образом, количество возможных значений для стороны $a$ равно 250, что и является количеством различных прямоугольников с периметром 1000.

Прямоугольники с периметром 1002

Для периметра $P = 1002$ уравнение для сторон будет $2(a+b) = 1002$, что равносильно $a+b=501$. Используем тот же подход: ищем количество пар натуральных чисел $(a, b)$, для которых $a+b=501$ и $a \le b$. Из $a \le b$ и $a+b=501$ следует, что $2a \le 501$, откуда $a \le 250.5$. Так как $a$ — целое число, оно может принимать любые значения в диапазоне $1 \le a \le 250$. Каждому такому значению $a$ соответствует единственное значение $b=501-a$. Количество возможных значений для стороны $a$ равно 250. Следовательно, существует 250 различных прямоугольников с периметром 1002.

Сравнение и вывод

Количество прямоугольников с периметром 1000 равно 250. Количество прямоугольников с периметром 1002 также равно 250. Следовательно, количество прямоугольников в обоих случаях одинаково.

Ответ: Прямоугольников с периметром 1000 и с периметром 1002 одинаковое количество.