Номер 776, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 776, страница 190.
№776 (с. 190)
Условие. №776 (с. 190)
скриншот условия

776. Решите уравнение:
1) $x^4 - 29x^2 + 100 = 0;$
2) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0;$
3) $x^4 - 2x^2 - 24 = 0;$
4) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0;$
5) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0;$
6) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0.$
Решение 1. №776 (с. 190)






Решение 2. №776 (с. 190)

Решение 3. №776 (с. 190)

Решение 4. №776 (с. 190)

Решение 5. №776 (с. 190)


Решение 6. №776 (с. 190)



Решение 7. №776 (с. 190)

Решение 8. №776 (с. 190)
1) $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$
Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 29t + 100 = 0$
Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Оба корня ($25$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену:
Если $t_1 = 25$, то $x^2 = 25$, откуда $x = \pm\sqrt{25}$, то есть $x = \pm 5$.
Если $t_2 = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x = \pm 2$.
Ответ: $-5; -2; 2; 5$.
2) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$t^2 - 9t + 20 = 0$
Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $9$, произведение равно $20$. Корни — это $4$ и $5$. Или через дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$
$t_1 = \frac{9 + 1}{2} = 5$
$t_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4$
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
Если $t_1 = 5$, то $x^2 = 5$, откуда $x = \pm\sqrt{5}$.
Если $t_2 = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$.
Ответ: $-\sqrt{5}; -2; 2; \sqrt{5}$.
3) $x^4 - 2x^2 - 24 = 0$
Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Уравнение примет вид:
$t^2 - 2t - 24 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $2$, произведение $-24$. Корни — это $6$ и $-4$.
$t_1 = 6$
$t_2 = -4$
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 6$:
$x^2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$.
Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.
4) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0$
Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Получим уравнение:
$t^2 + 3t - 70 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$
$\sqrt{D} = 17$
$t_1 = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$t_2 = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
Корень $t_2 = -10$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.
Выполним обратную замену для $t_1 = 7$:
$x^2 = 7$, откуда $x = \pm\sqrt{7}$.
Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.
5) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0$
Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Получим уравнение:
$9t^2 - 10t + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Заметим, что сумма коэффициентов $9 - 10 + 1 = 0$, следовательно, один из корней равен $1$. Второй корень найдем по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = c/a \implies 1 \cdot t_2 = 1/9 \implies t_2 = 1/9$.
$t_1 = 1$
$t_2 = \frac{1}{9}$
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
Если $t_1 = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.
Если $t_2 = 1/9$, то $x^2 = 1/9$, откуда $x = \pm\sqrt{1/9} = \pm 1/3$.
Ответ: $-1; -1/3; 1/3; 1$.
6) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$
Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Получим уравнение:
$2t^2 - 5t + 2 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$\sqrt{D} = 3$
$t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
Если $t_1 = 2$, то $x^2 = 2$, откуда $x = \pm\sqrt{2}$.
Если $t_2 = 1/2$, то $x^2 = 1/2$, откуда $x = \pm\sqrt{1/2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 776 расположенного на странице 190 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №776 (с. 190), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.