Номер 776, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 776, страница 190.

Условие.

776. Решите уравнение:

1) $x^4 - 29x^2 + 100 = 0;$

2) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0;$

3) $x^4 - 2x^2 - 24 = 0;$

4) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0;$

5) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0;$

6) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 29t + 100 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Оба корня ($25$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

Если $t_1 = 25$, то $x^2 = 25$, откуда $x = \pm\sqrt{25}$, то есть $x = \pm 5$.

Если $t_2 = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x = \pm 2$.

Ответ: $-5; -2; 2; 5$.

2) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 9t + 20 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $9$, произведение равно $20$. Корни — это $4$ и $5$. Или через дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

$t_1 = \frac{9 + 1}{2} = 5$

$t_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4$

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

Если $t_1 = 5$, то $x^2 = 5$, откуда $x = \pm\sqrt{5}$.

Если $t_2 = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$.

Ответ: $-\sqrt{5}; -2; 2; \sqrt{5}$.

3) $x^4 - 2x^2 - 24 = 0$

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Уравнение примет вид:

$t^2 - 2t - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $2$, произведение $-24$. Корни — это $6$ и $-4$.

$t_1 = 6$

$t_2 = -4$

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 6$:

$x^2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

4) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0$

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Получим уравнение:

$t^2 + 3t - 70 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$

$\sqrt{D} = 17$

$t_1 = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Корень $t_2 = -10$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Выполним обратную замену для $t_1 = 7$:

$x^2 = 7$, откуда $x = \pm\sqrt{7}$.

Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.

5) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0$

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Получим уравнение:

$9t^2 - 10t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Заметим, что сумма коэффициентов $9 - 10 + 1 = 0$, следовательно, один из корней равен $1$. Второй корень найдем по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = c/a \implies 1 \cdot t_2 = 1/9 \implies t_2 = 1/9$.

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{1}{9}$

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

Если $t_1 = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

Если $t_2 = 1/9$, то $x^2 = 1/9$, откуда $x = \pm\sqrt{1/9} = \pm 1/3$.

Ответ: $-1; -1/3; 1/3; 1$.

6) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Получим уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$\sqrt{D} = 3$

$t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

Если $t_1 = 2$, то $x^2 = 2$, откуда $x = \pm\sqrt{2}$.

Если $t_2 = 1/2$, то $x^2 = 1/2$, откуда $x = \pm\sqrt{1/2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}$.