Страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Какое уравнение называют биквадратным?

Биквадратным уравнением называют уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$.

Название «биквадратное» (от лат. bi — дважды) указывает на то, что переменная в уравнении возведена в четвертую (дважды вторую) и вторую степени. Это частный случай полиномиального уравнения четвёртой степени, в котором отсутствуют члены с нечётными степенями переменной ($x^3$ и $x$).

Метод решения
Для решения биквадратного уравнения используется метод замены переменной, который позволяет свести его к обычному квадратному уравнению. Алгоритм решения следующий:
1. Ввести новую переменную. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то для новой переменной должно выполняться условие $t \geq 0$.
2. Подставить новую переменную в исходное уравнение. Уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ примет вид $a(x^2)^2 + bx^2 + c = 0$, что после замены превращается в квадратное уравнение относительно $t$: $at^2 + bt + c = 0$.
3. Решить полученное квадратное уравнение для $t$ (например, через дискриминант или по теореме Виета) и найти его корни $t_1$ и $t_2$.
4. Проверить найденные корни $t_1$ и $t_2$ на соответствие условию $t \geq 0$. Отрицательные корни отбрасываются, так как уравнение $x^2 = t$ не будет иметь действительных решений при $t < 0$.
5. Для каждого неотрицательного корня $t$ выполнить обратную замену, то есть решить уравнение вида $x^2 = t$. Решениями будут $x = \pm\sqrt{t}$. В результате биквадратное уравнение может иметь от нуля до четырёх действительных корней.

Пример решения
Решим уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
1. Введём замену: $t = x^2$, где $t \geq 0$.
2. Получим квадратное уравнение: $t^2 - 5t + 4 = 0$.
3. Найдём его корни. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 5$ и $t_1 \cdot t_2 = 4$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
4. Оба корня, $1$ и $4$, являются положительными, значит, оба подходят.
5. Выполним обратную замену:
- для $t_1 = 1$: $x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_{1,2} = \pm 1$.
- для $t_2 = 4$: $x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x_{3,4} = \pm 2$.
Корни исходного уравнения: $-2, -1, 1, 2$.

Ответ: Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Оно решается методом введения новой переменной ($t = x^2$), что сводит его к квадратному уравнению $at^2 + bt + c = 0$.

775. Решите уравнение:

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 + 6 = 0;$

3) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0;$

4) $x^4 + 14x^2 - 32 = 0;$

5) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0;$

6) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0.$

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 5t + 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$

Получаем два корня для $t$:
$t_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$
$t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Оба корня ($t_1=1$ и $t_2=4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к замене $x^2 = t$:
1. $x^2 = t_1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
2. $x^2 = t_2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x_3 = 2, x_4 = -2$.

Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

2) $x^4 - 5x^2 + 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение превращается в квадратное: $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Легко подобрать корни $t_1=2$ и $t_2=3$.
Либо через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
$t = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$.
$t_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$
$t_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Оба корня положительные, поэтому оба подходят.

Возвращаемся к переменной $x$:
1. $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
2. $x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{3}$.

3) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$, ($t \ge 0$).
Получим уравнение $t^2 - 8t - 9 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
$t = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$.
$t_1 = \frac{8 - 10}{2} = -1$
$t_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Корень $t_2 = 9$ подходит.

Выполняем обратную замену: $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x = \pm3$.

Ответ: $-3; 3$.

4) $x^4 + 14x^2 - 32 = 0$

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Уравнение примет вид: $t^2 + 14t - 32 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324$.
$t = \frac{-14 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{-14 \pm 18}{2}$.
$t_1 = \frac{-14 - 18}{2} = -16$
$t_2 = \frac{-14 + 18}{2} = 2$

Корень $t_1 = -16$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = 2$ подходит.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

5) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0$

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Уравнение примет вид: $4t^2 - 9t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.
$t = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 7}{8}$.
$t_1 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$

Оба корня $t_1 = \frac{1}{4}$ и $t_2 = 2$ неотрицательные, поэтому оба подходят.

Делаем обратную замену:
1. $x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \implies x = \pm\frac{1}{2}$.
2. $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \sqrt{2}$.

6) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0$

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Уравнение примет вид: $3t^2 + 8t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$t = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}$.
$t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
$t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = \frac{1}{3}$ подходит.

Делаем обратную замену: $x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.

776. Решите уравнение:

1) $x^4 - 29x^2 + 100 = 0;$

2) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0;$

3) $x^4 - 2x^2 - 24 = 0;$

4) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0;$

5) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0;$

6) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0.$

1) $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 29t + 100 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Оба корня ($25$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

Если $t_1 = 25$, то $x^2 = 25$, откуда $x = \pm\sqrt{25}$, то есть $x = \pm 5$.

Если $t_2 = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x = \pm 2$.

Ответ: $-5; -2; 2; 5$.

2) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 9t + 20 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $9$, произведение равно $20$. Корни — это $4$ и $5$. Или через дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

$t_1 = \frac{9 + 1}{2} = 5$

$t_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4$

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

Если $t_1 = 5$, то $x^2 = 5$, откуда $x = \pm\sqrt{5}$.

Если $t_2 = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$.

Ответ: $-\sqrt{5}; -2; 2; \sqrt{5}$.

3) $x^4 - 2x^2 - 24 = 0$

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Уравнение примет вид:

$t^2 - 2t - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $2$, произведение $-24$. Корни — это $6$ и $-4$.

$t_1 = 6$

$t_2 = -4$

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 6$:

$x^2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

4) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0$

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Получим уравнение:

$t^2 + 3t - 70 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$

$\sqrt{D} = 17$

$t_1 = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Корень $t_2 = -10$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Выполним обратную замену для $t_1 = 7$:

$x^2 = 7$, откуда $x = \pm\sqrt{7}$.

Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.

5) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0$

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Получим уравнение:

$9t^2 - 10t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Заметим, что сумма коэффициентов $9 - 10 + 1 = 0$, следовательно, один из корней равен $1$. Второй корень найдем по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = c/a \implies 1 \cdot t_2 = 1/9 \implies t_2 = 1/9$.

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{1}{9}$

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

Если $t_1 = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

Если $t_2 = 1/9$, то $x^2 = 1/9$, откуда $x = \pm\sqrt{1/9} = \pm 1/3$.

Ответ: $-1; -1/3; 1/3; 1$.

6) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$

Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Получим уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$\sqrt{D} = 3$

$t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

Если $t_1 = 2$, то $x^2 = 2$, откуда $x = \pm\sqrt{2}$.

Если $t_2 = 1/2$, то $x^2 = 1/2$, откуда $x = \pm\sqrt{1/2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}$.

777. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 1} = 0;$

2) $\frac{x^2 - 6x - 7}{x - 7} = 0;$

3) $\frac{3x^2 - x - 2}{1 - x} = 0;$

4) $\frac{x^2 - 8x}{x + 10} = \frac{20}{x + 10};$

5) $\frac{x^2 - 14}{x + 2} = \frac{5x}{x + 2};$

6) $\frac{x^2 + 10x}{x - 8} = \frac{12x + 48}{x - 8};$

7) $\frac{x^2 + 4x}{x - 5} - \frac{9x + 50}{x - 5} = 0;$

8) $\frac{x^2 - 6x}{x - 3} + \frac{15 - 2x}{x - 3} = 0;$

9) $\frac{x^2 - 6x}{x - 4} = 4;$

10) $\frac{5x + 18}{x - 2} = x;$

11) $x + 1 = \frac{6}{x};$

12) $5 - \frac{8}{x^2} = \frac{18}{x}.$

1)

Решим уравнение $\frac{x^2+3x-4}{x+1}=0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2+3x-4=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-4$. Корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=-4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1 \neq -1$ и $-4 \neq -1$).

Ответ: 1; -4.

2)

Решим уравнение $\frac{x^2-6x-7}{x-7}=0$.

ОДЗ: $x-7 \neq 0 \implies x \neq 7$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2-6x-7=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корни уравнения: $x_1=7$ и $x_2=-1$.

Корень $x_1=7$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2=-1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

3)

Решим уравнение $\frac{3x^2-x-2}{1-x}=0$.

ОДЗ: $1-x \neq 0 \implies x \neq 1$.

Приравняем числитель к нулю: $3x^2-x-2=0$.

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{1+\sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1+5}{6} = 1$; $x_2 = \frac{1-\sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Корень $x_1=1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2=-\frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

4)

Решим уравнение $\frac{x^2-8x}{x+10}=\frac{20}{x+10}$.

ОДЗ: $x+10 \neq 0 \implies x \neq -10$.

Поскольку знаменатели равны и не равны нулю, мы можем приравнять числители: $x^2-8x=20$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2-8x-20=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение равно $-20$. Корни уравнения: $x_1=10$ и $x_2=-2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($10 \neq -10$ и $-2 \neq -10$).

Ответ: 10; -2.

5)

Решим уравнение $\frac{x^2-14}{x+2}=\frac{5x}{x+2}$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Приравниваем числители: $x^2-14=5x$.

Переносим все в левую часть: $x^2-5x-14=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-14$. Корни уравнения: $x_1=7$ и $x_2=-2$.

Корень $x_2=-2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_1=7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 7.

6)

Решим уравнение $\frac{x^2+10x}{x-8}=\frac{12x+48}{x-8}$.

ОДЗ: $x-8 \neq 0 \implies x \neq 8$.

Приравниваем числители: $x^2+10x=12x+48$.

Переносим все в левую часть: $x^2+10x-12x-48=0 \implies x^2-2x-48=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-48$. Корни уравнения: $x_1=8$ и $x_2=-6$.

Корень $x_1=8$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2=-6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -6.

7)

Решим уравнение $\frac{x^2+4x}{x-5}-\frac{9x+50}{x-5}=0$.

ОДЗ: $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$.

Так как знаменатели одинаковые, объединим числители: $\frac{x^2+4x-(9x+50)}{x-5}=0$.

Раскроем скобки и упростим: $\frac{x^2+4x-9x-50}{x-5}=0 \implies \frac{x^2-5x-50}{x-5}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2-5x-50=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-50$. Корни уравнения: $x_1=10$ и $x_2=-5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($10 \neq 5$ и $-5 \neq 5$).

Ответ: 10; -5.

8)

Решим уравнение $\frac{x^2-6x}{x-3}+\frac{15-2x}{x-3}=0$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Объединим дроби: $\frac{x^2-6x+15-2x}{x-3}=0$.

Упростим числитель: $\frac{x^2-8x+15}{x-3}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2-8x+15=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение равно $15$. Корни уравнения: $x_1=5$ и $x_2=3$.

Корень $x_2=3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_1=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.

9)

Решим уравнение $\frac{x^2-6x}{x-4}=4$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2-6x}{x-4}-4=0 \implies \frac{x^2-6x-4(x-4)}{x-4}=0$.

Упростим числитель: $\frac{x^2-6x-4x+16}{x-4}=0 \implies \frac{x^2-10x+16}{x-4}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2-10x+16=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $10$, а их произведение равно $16$. Корни уравнения: $x_1=8$ и $x_2=2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($8 \neq 4$ и $2 \neq 4$).

Ответ: 8; 2.

10)

Решим уравнение $\frac{5x+18}{x-2}=x$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Перенесем x в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{5x+18}{x-2}-x=0 \implies \frac{5x+18-x(x-2)}{x-2}=0$.

Упростим числитель: $\frac{5x+18-x^2+2x}{x-2}=0 \implies \frac{-x^2+7x+18}{x-2}=0$.

Умножим числитель на -1: $x^2-7x-18=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а их произведение равно $-18$. Корни уравнения: $x_1=9$ и $x_2=-2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($9 \neq 2$ и $-2 \neq 2$).

Ответ: 9; -2.

11)

Решим уравнение $x+1=\frac{6}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю: $x+1-\frac{6}{x}=0 \implies \frac{x(x+1)-6}{x}=0$.

Упростим числитель: $\frac{x^2+x-6}{x}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2+x-6=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Корни уравнения: $x_1=2$ и $x_2=-3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($2 \neq 0$ и $-3 \neq 0$).

Ответ: 2; -3.

12)

Решим уравнение $5 - \frac{8}{x^2} = \frac{18}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Перенесем все в левую часть: $5 - \frac{18}{x} - \frac{8}{x^2} = 0$.

Приведем к общему знаменателю $x^2$: $\frac{5x^2-18x-8}{x^2}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $5x^2-18x-8=0$.

Найдем дискриминант: $D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 324 + 160 = 484 = 22^2$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{18+\sqrt{484}}{2 \cdot 5} = \frac{18+22}{10} = \frac{40}{10}=4$; $x_2 = \frac{18-\sqrt{484}}{2 \cdot 5} = \frac{18-22}{10} = -\frac{4}{10} = -0,4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq 0$ и $-0,4 \neq 0$).

Ответ: 4; -0,4.

778. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 5x - 6}{x - 6} = 0;$

2) $\frac{4x^2 - 7x - 2}{x - 2} = 0;$

3) $\frac{2x^2 + 6}{x + 8} = \frac{13x}{x + 8};$

4) $\frac{x^2 + 4x}{x + 7} = \frac{5x + 56}{x + 7};$

5) $\frac{x^2 + 12x}{x + 4} - \frac{5x - 12}{x + 4} = 0;$

6) $\frac{x^2 - 3x}{x + 6} = 6;$

7) $\frac{2 - 33y}{y - 4} = 7y;$

8) $y - \frac{39}{y} = 10.$

1) Данное уравнение $\frac{x^2 - 5x - 6}{x - 6} = 0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатель не равен нулю: $x - 6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$. Далее приравняем числитель к нулю и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 - 5x - 6 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Отсюда корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$. Сравним полученные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $x \neq 6$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, решением уравнения является $x = -1$.
Ответ: $-1$.

2) В уравнении $\frac{4x^2 - 7x - 2}{x - 2} = 0$ дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. ОДЗ: $x - 2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$. Приравняем числитель к нулю: $4x^2 - 7x - 2 = 0$. Решим это квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$. Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$, значит, это посторонний корень. Корень $x_2 = -\frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-0,25$.

3) Дано уравнение $\frac{2x^2 + 6}{x + 8} = \frac{13x}{x + 8}$. ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $x + 8 \neq 0$, то есть $x \neq -8$. Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем приравнять их числители: $2x^2 + 6 = 13x$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $2x^2 - 13x + 6 = 0$. Решим его через дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$. $x_2 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$. Оба корня, $6$ и $0,5$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -8$).
Ответ: $6; 0,5$.

4) Дано уравнение $\frac{x^2 + 4x}{x + 7} = \frac{5x + 56}{x + 7}$. ОДЗ: $x + 7 \neq 0$, откуда $x \neq -7$. Приравниваем числители, так как знаменатели равны: $x^2 + 4x = 5x + 56$. Приведем к стандартному виду: $x^2 + 4x - 5x - 56 = 0$, $x^2 - x - 56 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -56$. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$. Проверяем корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -7$ является посторонним. Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $8$.

5) В уравнении $\frac{x^2 + 12x}{x + 4} - \frac{5x - 12}{x + 4} = 0$ приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{(x^2 + 12x) - (5x - 12)}{x + 4} = 0$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{x^2 + 12x - 5x + 12}{x + 4} = 0$, $\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 4} = 0$. ОДЗ: $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$. Приравняем числитель к нулю: $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -7$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_1 = -3$ подходит.
Ответ: $-3$.

6) Дано уравнение $\frac{x^2 - 3x}{x + 6} = 6$. ОДЗ: $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x+6)$: $x^2 - 3x = 6(x + 6)$. $x^2 - 3x = 6x + 36$. Перенесем все в левую часть: $x^2 - 3x - 6x - 36 = 0$, $x^2 - 9x - 36 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 9$ и $x_1 \cdot x_2 = -36$. Корни: $x_1 = 12$ и $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -6$).
Ответ: $12; -3$.

7) Дано уравнение $\frac{2 - 33y}{y - 4} = 7y$. ОДЗ: $y - 4 \neq 0$, то есть $y \neq 4$. Умножим обе части на $(y-4)$: $2 - 33y = 7y(y - 4)$. $2 - 33y = 7y^2 - 28y$. Приведем к стандартному квадратному уравнению: $7y^2 - 28y + 33y - 2 = 0$, $7y^2 + 5y - 2 = 0$. Решим через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81 = 9^2$. Найдем корни: $y_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$. $y_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 4$).
Ответ: $\frac{2}{7}; -1$.

8) Дано уравнение $y - \frac{39}{y} = 10$. ОДЗ: $y \neq 0$. Умножим все члены уравнения на $y$, чтобы избавиться от знаменателя: $y \cdot y - \frac{39}{y} \cdot y = 10 \cdot y$. $y^2 - 39 = 10y$. Перенесем все в левую часть: $y^2 - 10y - 39 = 0$. По теореме Виета, $y_1 + y_2 = 10$ и $y_1 \cdot y_2 = -39$. Корни: $y_1 = 13$ и $y_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 0$).
Ответ: $13; -3$.