Номер 777, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 777, страница 190.

Условие.

777. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 1} = 0;$

2) $\frac{x^2 - 6x - 7}{x - 7} = 0;$

3) $\frac{3x^2 - x - 2}{1 - x} = 0;$

4) $\frac{x^2 - 8x}{x + 10} = \frac{20}{x + 10};$

5) $\frac{x^2 - 14}{x + 2} = \frac{5x}{x + 2};$

6) $\frac{x^2 + 10x}{x - 8} = \frac{12x + 48}{x - 8};$

7) $\frac{x^2 + 4x}{x - 5} - \frac{9x + 50}{x - 5} = 0;$

8) $\frac{x^2 - 6x}{x - 3} + \frac{15 - 2x}{x - 3} = 0;$

9) $\frac{x^2 - 6x}{x - 4} = 4;$

10) $\frac{5x + 18}{x - 2} = x;$

11) $x + 1 = \frac{6}{x};$

12) $5 - \frac{8}{x^2} = \frac{18}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим уравнение $\frac{x^2+3x-4}{x+1}=0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2+3x-4=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-4$. Корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=-4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1 \neq -1$ и $-4 \neq -1$).

Ответ: 1; -4.

2)

Решим уравнение $\frac{x^2-6x-7}{x-7}=0$.

ОДЗ: $x-7 \neq 0 \implies x \neq 7$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2-6x-7=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корни уравнения: $x_1=7$ и $x_2=-1$.

Корень $x_1=7$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2=-1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

3)

Решим уравнение $\frac{3x^2-x-2}{1-x}=0$.

ОДЗ: $1-x \neq 0 \implies x \neq 1$.

Приравняем числитель к нулю: $3x^2-x-2=0$.

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{1+\sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1+5}{6} = 1$; $x_2 = \frac{1-\sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Корень $x_1=1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2=-\frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

4)

Решим уравнение $\frac{x^2-8x}{x+10}=\frac{20}{x+10}$.

ОДЗ: $x+10 \neq 0 \implies x \neq -10$.

Поскольку знаменатели равны и не равны нулю, мы можем приравнять числители: $x^2-8x=20$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2-8x-20=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение равно $-20$. Корни уравнения: $x_1=10$ и $x_2=-2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($10 \neq -10$ и $-2 \neq -10$).

Ответ: 10; -2.

5)

Решим уравнение $\frac{x^2-14}{x+2}=\frac{5x}{x+2}$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Приравниваем числители: $x^2-14=5x$.

Переносим все в левую часть: $x^2-5x-14=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-14$. Корни уравнения: $x_1=7$ и $x_2=-2$.

Корень $x_2=-2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_1=7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 7.

6)

Решим уравнение $\frac{x^2+10x}{x-8}=\frac{12x+48}{x-8}$.

ОДЗ: $x-8 \neq 0 \implies x \neq 8$.

Приравниваем числители: $x^2+10x=12x+48$.

Переносим все в левую часть: $x^2+10x-12x-48=0 \implies x^2-2x-48=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-48$. Корни уравнения: $x_1=8$ и $x_2=-6$.

Корень $x_1=8$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2=-6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -6.

7)

Решим уравнение $\frac{x^2+4x}{x-5}-\frac{9x+50}{x-5}=0$.

ОДЗ: $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$.

Так как знаменатели одинаковые, объединим числители: $\frac{x^2+4x-(9x+50)}{x-5}=0$.

Раскроем скобки и упростим: $\frac{x^2+4x-9x-50}{x-5}=0 \implies \frac{x^2-5x-50}{x-5}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2-5x-50=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-50$. Корни уравнения: $x_1=10$ и $x_2=-5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($10 \neq 5$ и $-5 \neq 5$).

Ответ: 10; -5.

8)

Решим уравнение $\frac{x^2-6x}{x-3}+\frac{15-2x}{x-3}=0$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Объединим дроби: $\frac{x^2-6x+15-2x}{x-3}=0$.

Упростим числитель: $\frac{x^2-8x+15}{x-3}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2-8x+15=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение равно $15$. Корни уравнения: $x_1=5$ и $x_2=3$.

Корень $x_2=3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_1=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.

9)

Решим уравнение $\frac{x^2-6x}{x-4}=4$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2-6x}{x-4}-4=0 \implies \frac{x^2-6x-4(x-4)}{x-4}=0$.

Упростим числитель: $\frac{x^2-6x-4x+16}{x-4}=0 \implies \frac{x^2-10x+16}{x-4}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2-10x+16=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $10$, а их произведение равно $16$. Корни уравнения: $x_1=8$ и $x_2=2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($8 \neq 4$ и $2 \neq 4$).

Ответ: 8; 2.

10)

Решим уравнение $\frac{5x+18}{x-2}=x$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Перенесем x в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{5x+18}{x-2}-x=0 \implies \frac{5x+18-x(x-2)}{x-2}=0$.

Упростим числитель: $\frac{5x+18-x^2+2x}{x-2}=0 \implies \frac{-x^2+7x+18}{x-2}=0$.

Умножим числитель на -1: $x^2-7x-18=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а их произведение равно $-18$. Корни уравнения: $x_1=9$ и $x_2=-2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($9 \neq 2$ и $-2 \neq 2$).

Ответ: 9; -2.

11)

Решим уравнение $x+1=\frac{6}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю: $x+1-\frac{6}{x}=0 \implies \frac{x(x+1)-6}{x}=0$.

Упростим числитель: $\frac{x^2+x-6}{x}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $x^2+x-6=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Корни уравнения: $x_1=2$ и $x_2=-3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($2 \neq 0$ и $-3 \neq 0$).

Ответ: 2; -3.

12)

Решим уравнение $5 - \frac{8}{x^2} = \frac{18}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Перенесем все в левую часть: $5 - \frac{18}{x} - \frac{8}{x^2} = 0$.

Приведем к общему знаменателю $x^2$: $\frac{5x^2-18x-8}{x^2}=0$.

Приравняем числитель к нулю: $5x^2-18x-8=0$.

Найдем дискриминант: $D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 324 + 160 = 484 = 22^2$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{18+\sqrt{484}}{2 \cdot 5} = \frac{18+22}{10} = \frac{40}{10}=4$; $x_2 = \frac{18-\sqrt{484}}{2 \cdot 5} = \frac{18-22}{10} = -\frac{4}{10} = -0,4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq 0$ и $-0,4 \neq 0$).

Ответ: 4; -0,4.