Номер 782, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 782, страница 191.

Условие.

782. Решите уравнение:

1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$

2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$

3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения введем замену переменной.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении есть $\sqrt{x}$, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Из этой замены следует, что $x = t^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Оба корня ($2$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня:
1. Для $t_1 = 2$: $\sqrt{x} = 2$. Возводим обе части в квадрат и получаем $x_1 = 4$.
2. Для $t_2 = 4$: $\sqrt{x} = 4$. Возводим обе части в квадрат и получаем $x_2 = 16$.
Оба найденных значения $x$ ($4$ и $16$) удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: 4; 16.

2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$

Это уравнение также решается с помощью введения новой переменной.
ОДЗ: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Запишем уравнение с новой переменной:
$t^2 - 5t - 50 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 5, произведение равно -50. Корнями являются $t_1 = 10$ и $t_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = 10$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 0$), поэтому это посторонний корень.
Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 10$:
$\sqrt{x} = 10$. Возведя обе части в квадрат, находим $x = 100$.
Найденное значение $x=100$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 100.

3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$

Решим это уравнение методом замены переменной.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставляем в уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.
Находим два корня для $t$:
$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Оба корня, $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 1$, являются неотрицательными, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = \frac{1}{2}$: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$. Возводим в квадрат: $x_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
2. Для $t_2 = 1$: $\sqrt{x} = 1$. Возводим в квадрат: $x_2 = 1^2 = 1$.
Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{4}$; 1.