Номер 782, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 782, страница 191.
№782 (с. 191)
Условие. №782 (с. 191)
скриншот условия

782. Решите уравнение:
1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$
2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$
3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$
Решение 1. №782 (с. 191)



Решение 2. №782 (с. 191)

Решение 3. №782 (с. 191)

Решение 4. №782 (с. 191)

Решение 5. №782 (с. 191)

Решение 6. №782 (с. 191)


Решение 7. №782 (с. 191)

Решение 8. №782 (с. 191)
1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$
Данное уравнение является иррациональным. Для его решения введем замену переменной.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении есть $\sqrt{x}$, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Из этой замены следует, что $x = t^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Оба корня ($2$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня:
1. Для $t_1 = 2$: $\sqrt{x} = 2$. Возводим обе части в квадрат и получаем $x_1 = 4$.
2. Для $t_2 = 4$: $\sqrt{x} = 4$. Возводим обе части в квадрат и получаем $x_2 = 16$.
Оба найденных значения $x$ ($4$ и $16$) удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: 4; 16.
2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$
Это уравнение также решается с помощью введения новой переменной.
ОДЗ: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Запишем уравнение с новой переменной:
$t^2 - 5t - 50 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 5, произведение равно -50. Корнями являются $t_1 = 10$ и $t_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = 10$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 0$), поэтому это посторонний корень.
Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 10$:
$\sqrt{x} = 10$. Возведя обе части в квадрат, находим $x = 100$.
Найденное значение $x=100$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 100.
3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$
Решим это уравнение методом замены переменной.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставляем в уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.
Находим два корня для $t$:
$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Оба корня, $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 1$, являются неотрицательными, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = \frac{1}{2}$: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$. Возводим в квадрат: $x_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
2. Для $t_2 = 1$: $\sqrt{x} = 1$. Возводим в квадрат: $x_2 = 1^2 = 1$.
Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{4}$; 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 782 расположенного на странице 191 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №782 (с. 191), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.