Номер 788, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 788, страница 192.

Условие.

788. Решите уравнение:

1) $\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = \frac{1}{5};$

2) $\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4};$

3) $\frac{9}{x+3} + \frac{14}{x-3} = \frac{24}{x};$

4) $\frac{2y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{1}{y^2-1} = 0;$

5) $\frac{3x}{x^2-10x+25} - \frac{x-3}{x^2-5x} = \frac{1}{x};$

6) $\frac{x-20}{x^2+10x} + \frac{10}{x^2-100} - \frac{5}{x^2-10x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное уравнение: $\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = \frac{1}{5}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x+10 \neq 0$, то есть $x \neq -10$.

Найдем общий знаменатель дробей. Это $5x(x+10)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$5x(x+10) \cdot \frac{60}{x} - 5x(x+10) \cdot \frac{60}{x+10} = 5x(x+10) \cdot \frac{1}{5}$

$5(x+10) \cdot 60 - 5x \cdot 60 = x(x+10)$

Раскроем скобки и упростим:

$300(x+10) - 300x = x^2 + 10x$

$300x + 3000 - 300x = x^2 + 10x$

$3000 = x^2 + 10x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Оба корня (50 и -60) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -10$).

Ответ: $50; -60$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4}$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0$, $x-2 \neq 0$, $x^2-4 \neq 0$. Так как $x^2-4 = (x-2)(x+2)$, то ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x-2)(x+2) \cdot \frac{x}{x+2} + (x-2)(x+2) \cdot \frac{x+2}{x-2} = (x-2)(x+2) \cdot \frac{16}{(x-2)(x+2)}$

$x(x-2) + (x+2)(x+2) = 16$

$x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 16$

$2x^2 + 2x + 4 - 16 = 0$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=-1$, а произведение $x_1 \cdot x_2=-6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1=2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), поэтому является посторонним. Корень $x_2=-3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$.

3)

Исходное уравнение: $\frac{9}{x+3} + \frac{14}{x-3} = \frac{24}{x}$.

ОДЗ: $x+3 \neq 0$, $x-3 \neq 0$, $x \neq 0$. То есть $x \neq -3, x \neq 3, x \neq 0$.

Общий знаменатель: $x(x+3)(x-3)$. Умножим обе части на него:

$9x(x-3) + 14x(x+3) = 24(x+3)(x-3)$

$9x^2 - 27x + 14x^2 + 42x = 24(x^2 - 9)$

$23x^2 + 15x = 24x^2 - 216$

$24x^2 - 23x^2 - 15x - 216 = 0$

$x^2 - 15x - 216 = 0$

Решим через дискриминант: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 225 + 864 = 1089$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

$x_1 = \frac{15+33}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{15-33}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Оба корня (24 и -9) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $24; -9$.

4)

Исходное уравнение: $\frac{2y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{1}{y^2-1} = 0$.

Преобразуем знаменатели: $\frac{2y+3}{2(y+1)} - \frac{y+1}{2(y-1)} + \frac{1}{(y-1)(y+1)} = 0$.

ОДЗ: $y+1 \neq 0$, $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq -1$ и $y \neq 1$.

Общий знаменатель: $2(y-1)(y+1)$. Умножим обе части на него:

$(y-1)(2y+3) - (y+1)(y+1) + 2 \cdot 1 = 0$

$(2y^2 + 3y - 2y - 3) - (y^2 + 2y + 1) + 2 = 0$

$2y^2 + y - 3 - y^2 - 2y - 1 + 2 = 0$

$y^2 - y - 2 = 0$

По теореме Виета: $y_1+y_2=1$, $y_1 \cdot y_2=-2$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ ($y \neq -1$), это посторонний корень. Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.

5)

Исходное уравнение: $\frac{3x}{x^2-10x+25} - \frac{x-3}{x^2-5x} = \frac{1}{x}$.

Преобразуем знаменатели: $\frac{3x}{(x-5)^2} - \frac{x-3}{x(x-5)} = \frac{1}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Общий знаменатель: $x(x-5)^2$. Умножим обе части на него:

$x(3x) - (x-5)(x-3) = (x-5)^2$

$3x^2 - (x^2 - 3x - 5x + 15) = x^2 - 10x + 25$

$3x^2 - (x^2 - 8x + 15) = x^2 - 10x + 25$

$3x^2 - x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25$

$2x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 + 18x - 40 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2=-18$, $x_1 \cdot x_2=-40$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -20$.

Оба корня (2 и -20) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 5$).

Ответ: $2; -20$.

6)

Исходное уравнение: $\frac{x-20}{x^2+10x} + \frac{10}{x^2-100} - \frac{5}{x^2-10x} = 0$.

Преобразуем знаменатели: $\frac{x-20}{x(x+10)} + \frac{10}{(x-10)(x+10)} - \frac{5}{x(x-10)} = 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x+10 \neq 0$, $x-10 \neq 0$. То есть $x \neq 0, x \neq -10, x \neq 10$.

Общий знаменатель: $x(x-10)(x+10)$. Умножим обе части на него:

$(x-10)(x-20) + 10x - 5(x+10) = 0$

$x^2 - 20x - 10x + 200 + 10x - 5x - 50 = 0$

$x^2 - 25x + 150 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2=25$, $x_1 \cdot x_2=150$. Корни: $x_1 = 10$ и $x_2 = 15$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 10$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 10$), это посторонний корень. Корень $x_2 = 15$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $15$.