Номер 788, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 788, страница 192.
№788 (с. 192)
Условие. №788 (с. 192)
скриншот условия

788. Решите уравнение:
1) $\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = \frac{1}{5};$
2) $\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4};$
3) $\frac{9}{x+3} + \frac{14}{x-3} = \frac{24}{x};$
4) $\frac{2y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{1}{y^2-1} = 0;$
5) $\frac{3x}{x^2-10x+25} - \frac{x-3}{x^2-5x} = \frac{1}{x};$
6) $\frac{x-20}{x^2+10x} + \frac{10}{x^2-100} - \frac{5}{x^2-10x} = 0.$
Решение 1. №788 (с. 192)






Решение 2. №788 (с. 192)

Решение 3. №788 (с. 192)

Решение 4. №788 (с. 192)

Решение 5. №788 (с. 192)


Решение 6. №788 (с. 192)



Решение 7. №788 (с. 192)

Решение 8. №788 (с. 192)
1)
Исходное уравнение: $\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = \frac{1}{5}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x+10 \neq 0$, то есть $x \neq -10$.
Найдем общий знаменатель дробей. Это $5x(x+10)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$5x(x+10) \cdot \frac{60}{x} - 5x(x+10) \cdot \frac{60}{x+10} = 5x(x+10) \cdot \frac{1}{5}$
$5(x+10) \cdot 60 - 5x \cdot 60 = x(x+10)$
Раскроем скобки и упростим:
$300(x+10) - 300x = x^2 + 10x$
$300x + 3000 - 300x = x^2 + 10x$
$3000 = x^2 + 10x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 10x - 3000 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$
$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$
$x_2 = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$
Оба корня (50 и -60) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -10$).
Ответ: $50; -60$.
2)
Исходное уравнение: $\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4}$.
ОДЗ: $x+2 \neq 0$, $x-2 \neq 0$, $x^2-4 \neq 0$. Так как $x^2-4 = (x-2)(x+2)$, то ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(x-2)(x+2) \cdot \frac{x}{x+2} + (x-2)(x+2) \cdot \frac{x+2}{x-2} = (x-2)(x+2) \cdot \frac{16}{(x-2)(x+2)}$
$x(x-2) + (x+2)(x+2) = 16$
$x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 16$
$2x^2 + 2x + 4 - 16 = 0$
$2x^2 + 2x - 12 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=-1$, а произведение $x_1 \cdot x_2=-6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1=2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), поэтому является посторонним. Корень $x_2=-3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.
3)
Исходное уравнение: $\frac{9}{x+3} + \frac{14}{x-3} = \frac{24}{x}$.
ОДЗ: $x+3 \neq 0$, $x-3 \neq 0$, $x \neq 0$. То есть $x \neq -3, x \neq 3, x \neq 0$.
Общий знаменатель: $x(x+3)(x-3)$. Умножим обе части на него:
$9x(x-3) + 14x(x+3) = 24(x+3)(x-3)$
$9x^2 - 27x + 14x^2 + 42x = 24(x^2 - 9)$
$23x^2 + 15x = 24x^2 - 216$
$24x^2 - 23x^2 - 15x - 216 = 0$
$x^2 - 15x - 216 = 0$
Решим через дискриминант: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 225 + 864 = 1089$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$
$x_1 = \frac{15+33}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$x_2 = \frac{15-33}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
Оба корня (24 и -9) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $24; -9$.
4)
Исходное уравнение: $\frac{2y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{1}{y^2-1} = 0$.
Преобразуем знаменатели: $\frac{2y+3}{2(y+1)} - \frac{y+1}{2(y-1)} + \frac{1}{(y-1)(y+1)} = 0$.
ОДЗ: $y+1 \neq 0$, $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq -1$ и $y \neq 1$.
Общий знаменатель: $2(y-1)(y+1)$. Умножим обе части на него:
$(y-1)(2y+3) - (y+1)(y+1) + 2 \cdot 1 = 0$
$(2y^2 + 3y - 2y - 3) - (y^2 + 2y + 1) + 2 = 0$
$2y^2 + y - 3 - y^2 - 2y - 1 + 2 = 0$
$y^2 - y - 2 = 0$
По теореме Виета: $y_1+y_2=1$, $y_1 \cdot y_2=-2$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ ($y \neq -1$), это посторонний корень. Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.
5)
Исходное уравнение: $\frac{3x}{x^2-10x+25} - \frac{x-3}{x^2-5x} = \frac{1}{x}$.
Преобразуем знаменатели: $\frac{3x}{(x-5)^2} - \frac{x-3}{x(x-5)} = \frac{1}{x}$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Общий знаменатель: $x(x-5)^2$. Умножим обе части на него:
$x(3x) - (x-5)(x-3) = (x-5)^2$
$3x^2 - (x^2 - 3x - 5x + 15) = x^2 - 10x + 25$
$3x^2 - (x^2 - 8x + 15) = x^2 - 10x + 25$
$3x^2 - x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25$
$2x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25$
$x^2 + 18x - 40 = 0$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-18$, $x_1 \cdot x_2=-40$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -20$.
Оба корня (2 и -20) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 5$).
Ответ: $2; -20$.
6)
Исходное уравнение: $\frac{x-20}{x^2+10x} + \frac{10}{x^2-100} - \frac{5}{x^2-10x} = 0$.
Преобразуем знаменатели: $\frac{x-20}{x(x+10)} + \frac{10}{(x-10)(x+10)} - \frac{5}{x(x-10)} = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x+10 \neq 0$, $x-10 \neq 0$. То есть $x \neq 0, x \neq -10, x \neq 10$.
Общий знаменатель: $x(x-10)(x+10)$. Умножим обе части на него:
$(x-10)(x-20) + 10x - 5(x+10) = 0$
$x^2 - 20x - 10x + 200 + 10x - 5x - 50 = 0$
$x^2 - 25x + 150 = 0$
По теореме Виета: $x_1+x_2=25$, $x_1 \cdot x_2=150$. Корни: $x_1 = 10$ и $x_2 = 15$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 10$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 10$), это посторонний корень. Корень $x_2 = 15$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $15$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 788 расположенного на странице 192 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №788 (с. 192), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.