Номер 790, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 790, страница 192.

Условие.

790. При каком значении переменной:

1) значение дроби $\frac{30}{x+3}$ на $\frac{1}{2}$ меньше значения дроби $\frac{30}{x}$;

2) значение дроби $\frac{20}{x}$ на 9 больше значения дроби $\frac{20}{x+18}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) значение дроби $\frac{30}{x+3}$ на $\frac{1}{2}$ меньше значения дроби $\frac{30}{x}$
Это условие можно записать в виде уравнения:
$\frac{30}{x} - \frac{30}{x+3} = \frac{1}{2}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю: $x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю:
$\frac{30(x+3) - 30x}{x(x+3)} = \frac{1}{2}$
$\frac{30x + 90 - 30x}{x^2+3x} = \frac{1}{2}$
$\frac{90}{x^2+3x} = \frac{1}{2}$
Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$x^2+3x = 90 \cdot 2$
$x^2+3x = 180$
$x^2+3x-180=0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$
$\sqrt{D} = 27$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 12; -15.

2) значение дроби $\frac{20}{x}$ на 9 больше значения дроби $\frac{20}{x+18}$?
Это условие можно записать в виде уравнения:
$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+18} = 9$
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+18 \neq 0$, то есть $x \neq -18$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{20(x+18) - 20x}{x(x+18)} = 9$
$\frac{20x + 360 - 20x}{x^2+18x} = 9$
$\frac{360}{x^2+18x} = 9$
$9(x^2+18x) = 360$
$x^2+18x = \frac{360}{9}$
$x^2+18x = 40$
$x^2+18x-40=0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -18$
$x_1 \cdot x_2 = -40$
Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -20$.
Проверка по дискриминанту:
$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 324 + 160 = 484$
$\sqrt{D} = 22$
$x_1 = \frac{-18 + 22}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-18 - 22}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 2; -20.