Номер 792, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 792, страница 192.

Условие.

792. Решите уравнение:

1) $ \frac{3x+2}{x^2+2x+4} + \frac{x^2+39}{x^3-8} = \frac{5}{x-2} $

2) $ \frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x+3} = \frac{8}{x^2+2x-3} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{3x+2}{x^2+2x+4} + \frac{x^2+39}{x^3-8} = \frac{5}{x-2}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для этого необходимо, чтобы знаменатели всех дробей не были равны нулю. Разложим знаменатель второй дроби $x^3-8$ на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$.

Теперь уравнение можно переписать в виде: $\frac{3x+2}{x^2+2x+4} + \frac{x^2+39}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{5}{x-2}$

Определим условия ОДЗ: 1. $x-2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$. 2. $x^2+2x+4 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положительный, выражение $x^2+2x+4$ всегда больше нуля при любых действительных $x$. Следовательно, единственное ограничение для ОДЗ это $x \neq 2$.

Приведем все дроби к общему знаменателю, которым является $(x-2)(x^2+2x+4)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(x-2)$, а третьей дроби — на $(x^2+2x+4)$: $\frac{(3x+2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{x^2+39}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{5(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$

Поскольку в области допустимых значений знаменатели не равны нулю, мы можем отбросить их и приравнять числители: $(3x+2)(x-2) + x^2+39 = 5(x^2+2x+4)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение: $(3x^2 - 6x + 2x - 4) + x^2 + 39 = 5x^2 + 10x + 20$ $4x^2 - 4x + 35 = 5x^2 + 10x + 20$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $5x^2 - 4x^2 + 10x + 4x + 20 - 35 = 0$ $x^2 + 14x - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1+x_2 = -14$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -15$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -15$. В качестве альтернативы, можно использовать формулу корней через дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$ $x = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm 16}{2}$ $x_1 = \frac{-14+16}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-14-16}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$). Корень $x_1 = 1$ не равен 2, следовательно, он является решением. Корень $x_2 = -15$ не равен 2, следовательно, он также является решением.

Ответ: $1; -15$.

2) $\frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x+3} = \frac{8}{x^2+2x-3}$

Найдем ОДЗ уравнения. Для этого знаменатели дробей не должны обращаться в ноль. Разложим на множители знаменатель $x^2+2x-3$. Корнями уравнения $x^2+2x-3=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=-3$ (по теореме Виета). Следовательно, $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$.

Исходное уравнение можно записать так: $\frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x+3} = \frac{8}{(x-1)(x+3)}$

Условия ОДЗ: 1. $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. 2. $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-1)(x+3)$: $\frac{x(x+3)}{(x-1)(x+3)} + \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{8}{(x-1)(x+3)}$

Учитывая ОДЗ, мы можем приравнять числители: $x(x+3) + (x+1)(x-1) = 8$

Раскроем скобки. Для второго слагаемого используем формулу разности квадратов: $x^2 + 3x + (x^2 - 1^2) = 8$ $x^2 + 3x + x^2 - 1 = 8$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $2x^2 + 3x - 1 - 8 = 0$ $2x^2 + 3x - 9 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 9}{4}$ $x_1 = \frac{-3+9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$ $x_2 = \frac{-3-9}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -3$). Корень $x_1 = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1.5 \neq 1$ и $1.5 \neq -3$. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=-3$ знаменатель дроби $\frac{x+1}{x+3}$ обращается в ноль. Следовательно, $x=-3$ — посторонний корень.

Ответ: $1.5$.