Номер 799, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 799, страница 193.

Условие.

799. Каким числом, рациональным или иррациональным, является значение выражения $\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} - \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, является ли значение данного выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо упростить его. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} - \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} $$

Общий знаменатель для этих дробей — это произведение их знаменателей: $(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)$. Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$$ \frac{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} - \frac{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} = \frac{(\sqrt{6}+2)^2 - (\sqrt{6}-2)^2}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} $$

Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$$ (\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2 $$

Теперь упростим числитель. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.

$$ (\sqrt{6}+2)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 + 2^2 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6} $$

$$ (\sqrt{6}-2)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 + 2^2 = 6 - 4\sqrt{6} + 4 = 10 - 4\sqrt{6} $$

Вычитаем одно из другого:

$$ (10 + 4\sqrt{6}) - (10 - 4\sqrt{6}) = 10 + 4\sqrt{6} - 10 + 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6} $$

Способ 2: Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя.

$$ (\sqrt{6}+2)^2 - (\sqrt{6}-2)^2 = ((\sqrt{6}+2) - (\sqrt{6}-2)) \cdot ((\sqrt{6}+2) + (\sqrt{6}-2)) $$

Упростим каждую скобку:

$$ (\sqrt{6}+2 - \sqrt{6}+2) \cdot (\sqrt{6}+2 + \sqrt{6}-2) = (4) \cdot (2\sqrt{6}) = 8\sqrt{6} $$

Оба способа дают одинаковый результат для числителя: $8\sqrt{6}$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$$ \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6} $$

Полученное число $4\sqrt{6}$ является произведением рационального числа $4$ и иррационального числа $\sqrt{6}$ (поскольку $6$ не является полным квадратом). Произведение ненулевого рационального числа на иррациональное всегда является иррациональным числом. Следовательно, значение исходного выражения — иррациональное число.

Ответ: иррациональное число.