Номер 805, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 805, страница 200.

Условие.

805. Поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, он за 80 км от этой станции увеличил свою скорость на 16 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Тогда $v + 16$ км/ч — новая скорость поезда на последнем участке пути.

Поезд опаздывал на 10 минут. Чтобы прибыть вовремя, он должен был сэкономить это время на оставшемся участке пути длиной 80 км. Переведем время опоздания в часы:

$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$

Время, которое поезд затратил бы на прохождение 80 км с первоначальной скоростью $v$, составляет $t_1 = \frac{80}{v}$ ч.

Время, которое поезд фактически затратил на этот же участок, двигаясь с увеличенной скоростью $v + 16$, составляет $t_2 = \frac{80}{v+16}$ ч.

Разница между временем по расписанию и фактическим временем на этом участке равна времени, которое поезд наверстал, то есть $\frac{1}{6}$ часа. Составим уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{6}$

$\frac{80}{v} - \frac{80}{v+16} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+16)$:

$\frac{80(v+16) - 80v}{v(v+16)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{80v + 1280 - 80v}{v^2 + 16v} = \frac{1}{6}$

$\frac{1280}{v^2 + 16v} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, получим:

$v^2 + 16v = 1280 \cdot 6$

$v^2 + 16v = 7680$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 16v - 7680 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7680) = 256 + 30720 = 30976$

Найдем корни уравнения: $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$\sqrt{D} = \sqrt{30976} = 176$

$v_1 = \frac{-16 + 176}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-16 - 176}{2} = \frac{-192}{2} = -96$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -96$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда равна 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.