Номер 807, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 807, страница 200.

Условие.

807. Наборщик должен был за некоторое время набрать 180 страниц. Однако он выполнил эту работу на 5 ч раньше срока, так как набирал на 3 страницы в час больше, чем планировал. Сколько страниц в час он должен был набирать?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ страниц в час — это скорость набора, которую планировал наборщик. Тогда время, за которое он должен был набрать 180 страниц, составляет $\frac{180}{x}$ часов.

По условию, наборщик работал быстрее плана, набирая на 3 страницы в час больше. Его фактическая скорость составила $x + 3$ страниц в час.

Также известно, что он закончил работу на 5 часов раньше срока. Значит, фактическое время, затраченное на работу, равно $(\frac{180}{x} - 5)$ часов.

Зная фактическую скорость и фактическое время, мы можем составить уравнение, так как объем работы остался прежним — 180 страниц:

$(x + 3) \cdot (\frac{180}{x} - 5) = 180$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в левой части:

$x \cdot \frac{180}{x} - 5 \cdot x + 3 \cdot \frac{180}{x} - 3 \cdot 5 = 180$

$180 - 5x + \frac{540}{x} - 15 = 180$

Вычтем 180 из обеих частей уравнения:

$-5x + \frac{540}{x} - 15 = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя (при этом $x \neq 0$, что логично для скорости работы):

$-5x^2 - 15x + 540 = 0$

Разделим все члены уравнения на -5 для упрощения:

$x^2 + 3x - 108 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-3 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-3 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку скорость набора не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не является решением задачи. Следовательно, единственно верное значение — $x = 9$.

Таким образом, наборщик должен был набирать 9 страниц в час.

Ответ: 9 страниц в час.