Номер 814, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 814, страница 200.

Условие.

814. Турист проплыл $5/8$ всего пути на катере, а остальную часть проехал на автомобиле. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. На автомобиле он ехал на 1 ч 30 мин меньше, чем плыл на катере. Найдите скорость автомобиля и скорость катера, если всего турист преодолел 160 км.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — это скорость катера. По условию, скорость автомобиля на 20 км/ч больше, следовательно, скорость автомобиля равна $(x + 20)$ км/ч.

Общий путь составляет 160 км.

1. Найдем расстояние, которое турист преодолел на каждом виде транспорта.

Расстояние, которое турист проплыл на катере, составляет $\frac{5}{8}$ всего пути:
$S_{катера} = 160 \cdot \frac{5}{8} = \frac{160 \cdot 5}{8} = 20 \cdot 5 = 100$ км.

Оставшуюся часть пути турист проехал на автомобиле:
$S_{автомобиля} = 160 - 100 = 60$ км.

2. Выразим время движения для каждого вида транспорта.

Время, которое турист плыл на катере, равно:
$t_{катера} = \frac{S_{катера}}{v_{катера}} = \frac{100}{x}$ ч.

Время, которое турист ехал на автомобиле, равно:
$t_{автомобиля} = \frac{S_{автомобиля}}{v_{автомобиля}} = \frac{60}{x+20}$ ч.

3. Составим и решим уравнение.

По условию, на автомобиле турист ехал на 1 час 30 минут меньше, чем плыл на катере. Переведем это время в часы:
$1\ ч\ 30\ мин = 1.5$ часа.

Разница во времени составляет 1.5 часа, поэтому можем составить уравнение:
$t_{катера} - t_{автомобиля} = 1.5$
$\frac{100}{x} - \frac{60}{x+20} = 1.5$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+20)$:
$\frac{100(x+20) - 60x}{x(x+20)} = 1.5$
$\frac{100x + 2000 - 60x}{x^2 + 20x} = 1.5$
$\frac{40x + 2000}{x^2 + 20x} = 1.5$

Теперь воспользуемся свойством пропорции, умножив знаменатель на 1.5 (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -20$):
$40x + 2000 = 1.5(x^2 + 20x)$
$40x + 2000 = 1.5x^2 + 30x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$1.5x^2 + 30x - 40x - 2000 = 0$
$1.5x^2 - 10x - 2000 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:
$3x^2 - 20x - 4000 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4000) = 400 + 48000 = 48400$
$\sqrt{D} = \sqrt{48400} = 220$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 220}{2 \cdot 3} = \frac{240}{6} = 40$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 220}{2 \cdot 3} = \frac{-200}{6} \approx -33.33$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2$ не является решением задачи. Следовательно, скорость катера $x = 40$ км/ч.

4. Найдем скорость автомобиля.

Скорость автомобиля равна $(x + 20)$:
$40 + 20 = 60$ км/ч.

Проверка:
Время на катере: $t_{катера} = \frac{100}{40} = 2.5$ часа.
Время на автомобиле: $t_{автомобиля} = \frac{60}{60} = 1$ час.
Разница: $2.5 - 1 = 1.5$ часа, что соответствует 1 часу 30 минутам. Решение верное.

Ответ: скорость катера — 40 км/ч, скорость автомобиля — 60 км/ч.