Номер 817, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 817, страница 201.

Условие.

817. Турист проплыл на байдарке $4 \text{ км}$ по озеру и $5 \text{ км}$ по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы $6 \text{ км}$ против течения. С какой скоростью турист плыл по озеру, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость байдарки, то есть скорость, с которой турист плыл по озеру. Это искомая величина. Из условия задачи известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.

Тогда скорость туриста по течению реки будет равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(x - 2)$ км/ч. Для того чтобы турист мог плыть против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Турист проплыл 4 км по озеру и 5 км по течению реки. Общее время, затраченное на этот путь, составляет: $T_1 = \frac{4}{x} + \frac{5}{x+2}$ часов.

Время, за которое турист проплыл 6 км против течения, составляет: $T_2 = \frac{6}{x-2}$ часов.

По условию задачи, эти промежутки времени равны: $T_1 = T_2$. Составим уравнение: $\frac{4}{x} + \frac{5}{x+2} = \frac{6}{x-2}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+2)$: $\frac{4(x+2) + 5x}{x(x+2)} = \frac{6}{x-2}$

$\frac{4x + 8 + 5x}{x^2 + 2x} = \frac{6}{x-2}$

$\frac{9x + 8}{x^2 + 2x} = \frac{6}{x-2}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), учитывая область допустимых значений $x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2$: $(9x + 8)(x - 2) = 6(x^2 + 2x)$

Раскроем скобки: $9x^2 - 18x + 8x - 16 = 6x^2 + 12x$

$9x^2 - 10x - 16 = 6x^2 + 12x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые: $9x^2 - 6x^2 - 10x - 12x - 16 = 0$

$3x^2 - 22x - 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 484 + 192 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{48}{6} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{2}{3}$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$. Следовательно, скорость туриста по озеру составляет 8 км/ч.

Проверка: Время на первом участке: $\frac{4}{8} + \frac{5}{8+2} = 0.5 + \frac{5}{10} = 0.5 + 0.5 = 1$ час. Время на втором участке: $\frac{6}{8-2} = \frac{6}{6} = 1$ час. Время равно, значит, задача решена верно.

Ответ: 8 км/ч.