Номер 821, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 821, страница 201.

Условие.

821. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному из них нужно для этого на 9 дней больше, чем другому?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи примем весь объем работы за 1.

Пусть $x$ — количество дней, за которое первый рабочий может выполнить всю работу, работая самостоятельно.

Согласно условию, второму рабочему для выполнения этой же работы требуется на 9 дней больше. Следовательно, он выполнит работу за $(x + 9)$ дней.

Производительность труда (часть работы, выполняемая за один день) первого рабочего составляет $1/x$.

Производительность труда второго рабочего составляет $1/(x + 9)$.

Когда они работают вместе, их общая производительность является суммой их индивидуальных производительностей. По условию, вместе они выполняют работу за 20 дней, значит, их совместная производительность равна $1/20$.

Составим уравнение, основываясь на этих данных: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{20} $$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 9)$: $$ \frac{x + 9 + x}{x(x + 9)} = \frac{1}{20} $$ $$ \frac{2x + 9}{x^2 + 9x} = \frac{1}{20} $$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»): $$ 20 \cdot (2x + 9) = 1 \cdot (x^2 + 9x) $$ $$ 40x + 180 = x^2 + 9x $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + 9x - 40x - 180 = 0 $$ $$ x^2 - 31x - 180 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681 $$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ \sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41 $$ $$ x_1 = \frac{31 + 41}{2} = \frac{72}{2} = 36 $$ $$ x_2 = \frac{31 - 41}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$

Так как $x$ обозначает количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не подходит по смыслу задачи.

Значит, первому рабочему для выполнения задания требуется 36 дней.

Второму рабочему требуется на 9 дней больше: $$ 36 + 9 = 45 \text{ дней} $$

Ответ: один рабочий может выполнить задание за 36 дней, а другой — за 45 дней.