Номер 820, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 820, страница 201.

Условие.

820. Числитель обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 4, то полученная дробь будет на $\frac{1}{3}$ меньше исходной. Найдите исходную дробь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть знаменатель исходной дроби равен $x$. Согласно условию, числитель на 5 меньше знаменателя, следовательно, он равен $x-5$. Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x-5}{x}$.

Далее, по условию задачи, числитель этой дроби уменьшили на 3, а знаменатель увеличили на 4. Новый числитель стал равен $(x-5)-3 = x-8$. Новый знаменатель стал равен $x+4$. Полученная новая дробь имеет вид $\frac{x-8}{x+4}$.

Известно, что полученная дробь на $\frac{1}{3}$ меньше исходной. Это означает, что если из исходной дроби вычесть новую, разность будет равна $\frac{1}{3}$. Составим на основе этого условия уравнение:

$\frac{x-5}{x} - \frac{x-8}{x+4} = \frac{1}{3}$

Для решения данного уравнения определим область допустимых значений: знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{(x-5)(x+4) - x(x-8)}{x(x+4)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{x^2 + 4x - 5x - 20 - (x^2 - 8x)}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

$\frac{x^2 - x - 20 - x^2 + 8x}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

$\frac{7x - 20}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(7x - 20) = 1(x^2 + 4x)$

$21x - 60 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 21x + 60 = 0$

$x^2 - 17x + 60 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 7}{2}$

Первый корень: $x_1 = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Второй корень: $x_2 = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Оба найденных корня входят в область допустимых значений. Теперь рассмотрим, какая дробь получается в каждом из двух случаев.

1. Если $x = 5$, то исходная дробь равна $\frac{x-5}{x} = \frac{5-5}{5} = \frac{0}{5}$.
Проверка: новая дробь $\frac{x-8}{x+4} = \frac{5-8}{5+4} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$. Разница: $\frac{0}{5} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$. Условие выполняется.

2. Если $x = 12$, то исходная дробь равна $\frac{x-5}{x} = \frac{12-5}{12} = \frac{7}{12}$.
Проверка: новая дробь $\frac{x-8}{x+4} = \frac{12-8}{12+4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Разница: $\frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Условие также выполняется.

Мы получили два математически верных решения. Однако, в контексте школьных задач под "обыкновенной дробью" часто подразумевается дробь, у которой и числитель, и знаменатель — натуральные (положительные целые) числа. В первом случае ($x=5$) числитель равен 0, что не является натуральным числом. Во втором случае ($x=12$) числитель равен 7, а знаменатель 12 — оба числа натуральные. Поэтому, в качестве ответа следует выбрать второй вариант.

Ответ: $\frac{7}{12}$