Номер 815, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 815, страница 201.

Условие.

815. Междугородный автобус должен был проехать 72 км. После того как он проехал 24 км, его задержали на железнодорожном переезде на 12 мин. Потом он увеличил скорость на $12 \text{ км/ч}$ и прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 мин. Найдите первоначальную скорость автобуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автобуса. Весь путь составляет 72 км.

Время, которое автобус должен был затратить на весь путь по расписанию, составляет $t_{план} = \frac{72}{v}$ часов.

Первую часть пути, равную 24 км, автобус проехал с первоначальной скоростью $v$. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{24}{v}$ ч.

После этого автобус был задержан на 12 минут. Переведем это время в часы: $t_{задержка} = 12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5}$ ч.

Оставшаяся часть пути составляет $72 - 24 = 48$ км. Эту часть пути автобус ехал с увеличенной скоростью, которая стала равна $v + 12$ км/ч. Время, затраченное на второй участок: $t_2 = \frac{48}{v+12}$ ч.

Суммарное фактическое время в пути складывается из времени движения на двух участках и времени задержки:$t_{факт} = t_1 + t_{задержка} + t_2 = \frac{24}{v} + \frac{1}{5} + \frac{48}{v+12}$ ч.

По условию, автобус прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 минуты. Переведем время опоздания в часы: $4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15}$ ч. Это означает, что фактическое время в пути было на $\frac{1}{15}$ часа больше запланированного:

$t_{факт} = t_{план} + \frac{1}{15}$

Подставим выражения для времени и составим уравнение:

$\frac{24}{v} + \frac{1}{5} + \frac{48}{v+12} = \frac{72}{v} + \frac{1}{15}$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $v$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$\frac{1}{5} - \frac{1}{15} = \frac{72}{v} - \frac{24}{v} - \frac{48}{v+12}$

Упростим обе части уравнения. В левой части приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3}{15} - \frac{1}{15} = \frac{48}{v} - \frac{48}{v+12}$

$\frac{2}{15} = 48 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v+12} \right)$

$\frac{2}{15} = 48 \left( \frac{v+12-v}{v(v+12)} \right)$

$\frac{2}{15} = 48 \cdot \frac{12}{v(v+12)}$

$\frac{2}{15} = \frac{576}{v^2 + 12v}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$2(v^2 + 12v) = 15 \cdot 576$

$2(v^2 + 12v) = 8640$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 + 12v = 4320$

$v^2 + 12v - 4320 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4320) = 144 + 17280 = 17424$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{17424} = 132$.

Теперь найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 132}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 132}{2} = \frac{-144}{2} = -72$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -72$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость автобуса равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.