Номер 823, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 823, страница 201.

Условие.

823. В первый день тракторист пахал поле 6 ч. На следующий день к нему присоединился второй тракторист, и через 8 ч совместной работы они закончили вспашку. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если первому для этого надо на 3 ч меньше, чем второму?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим всю работу по вспашке поля за 1. Пусть время, за которое второй тракторист может вспахать все поле, работая самостоятельно, равно $x$ часов. Согласно условию, первому трактористу для выполнения этой же работы требуется на 3 часа меньше, то есть $(x-3)$ часов. Исходя из физического смысла времени, $x$ должен быть больше 3, то есть $x > 3$.

Тогда производительность (часть поля, вспахиваемая за 1 час) первого тракториста составляет $P_1 = \frac{1}{x-3}$, а производительность второго — $P_2 = \frac{1}{x}$.

В первый день первый тракторист работал один в течение 6 часов. Объем выполненной им работы равен: $W_1 = P_1 \times 6 = \frac{6}{x-3}$.

На следующий день оба тракториста работали вместе 8 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{1+2} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x}$. Объем работы, выполненной ими за 8 часов совместной работы, равен: $W_2 = P_{1+2} \times 8 = 8 \left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x}\right)$.

Сумма работы за два дня равна всему полю, то есть 1. Составим уравнение: $W_1 + W_2 = 1$ $\frac{6}{x-3} + 8 \left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x}\right) = 1$

Теперь решим это уравнение: $\frac{6}{x-3} + \frac{8}{x-3} + \frac{8}{x} = 1$ $\frac{14}{x-3} + \frac{8}{x} = 1$ Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-3)$: $\frac{14x + 8(x-3)}{x(x-3)} = 1$ При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$, можно умножить обе части на знаменатель: $14x + 8(x-3) = x(x-3)$ $14x + 8x - 24 = x^2 - 3x$ $22x - 24 = x^2 - 3x$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 3x - 22x + 24 = 0$ $x^2 - 25x + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 25, а их произведение равно 24. Легко подобрать корни: $x_1 = 24$ $x_2 = 1$

Проверим корни на соответствие условию $x > 3$. Корень $x_2 = 1$ не подходит, так как в этом случае время работы первого тракториста было бы $1 - 3 = -2$ часа, что невозможно. Корень $x_1 = 24$ удовлетворяет условию.

Следовательно, время, за которое второй тракторист может вспахать поле самостоятельно, равно 24 часам. Время, за которое первый тракторист может вспахать поле самостоятельно, равно $x - 3 = 24 - 3 = 21$ час.

Ответ: Первый тракторист может вспахать поле за 21 час, а второй — за 24 часа.