Номер 803, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 803, страница 199.

Условие.

803. Первый мотоциклист проезжает 90 км на 18 мин быстрее второго, поскольку его скорость на 10 км/ч больше скорости второго мотоциклиста. Найдите скорость каждого мотоциклиста.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть скорость второго мотоциклиста равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость первого мотоциклиста на 10 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 10)$ км/ч.

Время, за которое первый мотоциклист проезжает 90 км, составляет $t_1 = \frac{90}{x+10}$ часов. Время, за которое второй мотоциклист проезжает то же расстояние, составляет $t_2 = \frac{90}{x}$ часов.

Разница во времени составляет 18 минут. Переведем это значение в часы для согласования единиц измерения:

$18 \text{ мин} = \frac{18}{60} \text{ ч} = \frac{3}{10} \text{ ч}$

Поскольку первый мотоциклист едет быстрее, его время в пути меньше. Значит, разница между временем второго и первого мотоциклиста составляет $\frac{3}{10}$ часа. Составим уравнение:

$t_2 - t_1 = \frac{90}{x} - \frac{90}{x+10} = \frac{3}{10}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{90(x+10) - 90x}{x(x+10)} = \frac{3}{10}$

$\frac{90x + 900 - 90x}{x^2 + 10x} = \frac{3}{10}$

$\frac{900}{x^2 + 10x} = \frac{3}{10}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$3(x^2 + 10x) = 900 \cdot 10$

$3x^2 + 30x = 9000$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

$x^2 + 10x = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость второго мотоциклиста равна $x = 50$ км/ч.

Тогда скорость первого мотоциклиста равна $x + 10 = 50 + 10 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость первого мотоциклиста — 60 км/ч, скорость второго мотоциклиста — 50 км/ч.