Номер 797, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 797, страница 193.

Условие.

797. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{x^2 - ax + 5}{x - 1} = 0$ имеет единственный корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение $\frac{x^2-ax+5}{x-1}=0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - ax + 5 = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases}$

Из второго условия системы следует, что $x \neq 1$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если система будет иметь единственное решение. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Квадратное уравнение $x^2 - ax + 5 = 0$ имеет один корень, и этот корень не равен 1.

Квадратное уравнение имеет один корень (является полным квадратом), если его дискриминант равен нулю.

Найдем дискриминант уравнения $x^2 - ax + 5 = 0$:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = a^2 - 20$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$a^2 - 20 = 0$

$a^2 = 20$

$a = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$

При $D=0$ корень уравнения находится по формуле $x = \frac{-(-a)}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$.

Проверим, что этот корень не равен 1 для найденных значений $a$:

Если $a = 2\sqrt{5}$, то $x = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \neq 1$, это значение $a$ подходит.

Если $a = -2\sqrt{5}$, то $x = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$. Так как $-\sqrt{5} \neq 1$, это значение $a$ также подходит.

Таким образом, из первого случая мы получили два значения: $a = 2\sqrt{5}$ и $a = -2\sqrt{5}$.

Случай 2: Квадратное уравнение $x^2 - ax + 5 = 0$ имеет два различных корня, один из которых равен 1.

Уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант больше нуля: $D = a^2 - 20 > 0$.

Если один из корней равен 1, то при подстановке $x=1$ в уравнение $x^2 - ax + 5 = 0$ мы должны получить верное равенство:

$1^2 - a \cdot 1 + 5 = 0$

$1 - a + 5 = 0$

$6 - a = 0$

$a = 6$

Проверим, удовлетворяет ли это значение $a$ условию $D > 0$.

При $a=6$, $D = 6^2 - 20 = 36 - 20 = 16$. Так как $16 > 0$, условие выполняется.

При $a=6$ уравнение числителя $x^2 - 6x + 5 = 0$ имеет корни $x_1 = \frac{6-\sqrt{16}}{2} = \frac{2}{2}=1$ и $x_2 = \frac{6+\sqrt{16}}{2} = \frac{10}{2}=5$.

Корень $x=1$ является посторонним для исходного уравнения из-за условия $x \neq 1$. Следовательно, при $a=6$ исходное уравнение имеет единственный корень $x=5$.

Таким образом, значение $a=6$ также является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}; 6\}$.