Номер 795, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 795, страница 192.

Условие.

795. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 6x)^2 + (x^2 - 6x) - 56 = 0;$

2) $(x^2 + 8x + 3)(x^2 + 8x + 5) = 63;$

3) $\frac{x^4}{(x - 2)^2} - \frac{4x^2}{x - 2} - 5 = 0;$

4) $\frac{x + 4}{x - 3} - \frac{x - 3}{x + 4} = \frac{3}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(x^2 - 6x)^2 + (x^2 - 6x) - 56 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно выражения $x^2 - 6x$. Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 + t - 56 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $t$ с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни этого уравнения: $t_1 = 7$ и $t_2 = -8$, так как $7 \cdot (-8) = -56$ и $7 + (-8) = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 7$

$x^2 - 6x = 7$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Случай 2: $t = -8$

$x^2 - 6x = -8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

$x_{3,4} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$x_3 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_4 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 2; 4; 7$.

2) $(x^2 + 8x + 3)(x^2 + 8x + 5) = 63$

В этом уравнении также можно применить метод замены переменной. Пусть $t = x^2 + 8x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 3)(t + 5) = 63$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 + 5t + 3t + 15 = 63$

$t^2 + 8t + 15 - 63 = 0$

$t^2 + 8t - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$.

$t_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-8 \pm 16}{2}$

$t_1 = \frac{-8 + 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-8 - 16}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 4$

$x^2 + 8x = 4$

$x^2 + 8x - 4 = 0$

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 64 + 16 = 80$.

$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{5}$

Случай 2: $t = -12$

$x^2 + 8x = -12$

$x^2 + 8x + 12 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = -2$ и $x_4 = -6$.

Исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-6; -2; -4 - 2\sqrt{5}; -4 + 2\sqrt{5}$.

3) $\frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x-2} - 5 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Заметим, что $\frac{x^4}{(x-2)^2} = \left(\frac{x^2}{x-2}\right)^2$. Введем замену $t = \frac{x^2}{x-2}$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 5$

$\frac{x^2}{x-2} = 5$

$x^2 = 5(x-2)$

$x^2 = 5x - 10$

$x^2 - 5x + 10 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 25 - 40 = -15$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $t = -1$

$\frac{x^2}{x-2} = -1$

$x^2 = -1(x-2)$

$x^2 = -x + 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $-2; 1$.

4) $\frac{x+4}{x-3} - \frac{x-3}{x+4} = \frac{3}{2}$

ОДЗ: $x - 3 \neq 0$ и $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -4$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x+4}{x-3}$. Тогда $\frac{x-3}{x+4} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2t$ (при условии $t \neq 0$, что выполняется, так как $x \neq -4$):

$2t^2 - 2 = 3t$

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$

$t_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 2$

$\frac{x+4}{x-3} = 2$

$x+4 = 2(x-3)$

$x+4 = 2x - 6$

$x = 10$

Корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $t = -\frac{1}{2}$

$\frac{x+4}{x-3} = -\frac{1}{2}$

$2(x+4) = -1(x-3)$

$2x + 8 = -x + 3$

$3x = -5$

$x = -\frac{5}{3}$

Корень $x = -\frac{5}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{5}{3}; 10$.