Номер 789, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 789, страница 192.

Условие.

789. При каком значении переменной:

1) сумма дробей $\frac{24}{x-2}$ и $\frac{16}{x+2}$ равна 3;

2) значение дроби $\frac{42}{x}$ на $\frac{1}{4}$ больше значения дроби $\frac{36}{x+20}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) сумма дробей $ \frac{24}{x-2} $ и $ \frac{16}{x+2} $ равна 3;

Для решения задачи составим уравнение в соответствии с условием:

$ \frac{24}{x-2} + \frac{16}{x+2} = 3 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $

$ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $ (x-2)(x+2) $, который равен $ x^2 - 4 $:

$ \frac{24(x+2) + 16(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 3 $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{24x + 48 + 16x - 32}{x^2 - 4} = 3 $

$ \frac{40x + 16}{x^2 - 4} = 3 $

Умножим обе части уравнения на знаменатель $ x^2 - 4 $, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):

$ 40x + 16 = 3(x^2 - 4) $

$ 40x + 16 = 3x^2 - 12 $

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ ax^2+bx+c=0 $:

$ 3x^2 - 40x - 12 - 16 = 0 $

$ 3x^2 - 40x - 28 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 1600 + 336 = 1936 $

Найдем корни уравнения по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{1936}}{2 \cdot 3} = \frac{40 + 44}{6} = \frac{84}{6} = 14 $

$ x_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{1936}}{2 \cdot 3} = \frac{40 - 44}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $ x = 14 $ и $ x = -\frac{2}{3} $.

2) значение дроби $ \frac{42}{x} $ на $ \frac{1}{4} $ больше значения дроби $ \frac{36}{x+20} $?

Условие "значение дроби А на С больше значения дроби В" можно записать как уравнение $ А - В = С $. Составим уравнение:

$ \frac{42}{x} - \frac{36}{x+20} = \frac{1}{4} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq 0 $ и $ x+20 \neq 0 $, откуда $ x \neq -20 $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 4x(x+20) $:

$ 42 \cdot 4(x+20) - 36 \cdot 4x = 1 \cdot x(x+20) $

Раскроем скобки:

$ 168(x+20) - 144x = x^2 + 20x $

$ 168x + 3360 - 144x = x^2 + 20x $

Упростим левую часть:

$ 24x + 3360 = x^2 + 20x $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 0 = x^2 + 20x - 24x - 3360 $

$ x^2 - 4x - 3360 = 0 $

Решим уравнение через дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3360) = 16 + 13440 = 13456 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{13456}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 116}{2} = \frac{120}{2} = 60 $

$ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{13456}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 116}{2} = \frac{-112}{2} = -56 $

Оба корня ($60$ и $-56$) не равны $0$ или $-20$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $ x = 60 $ и $ x = -56 $.