Номер 786, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 786, страница 191.

Условие.

786. Найдите корни уравнения:

1) $\frac{2x-13}{x-6} = \frac{x+6}{x}$

2) $\frac{3x^2-4x-20}{x+2} = 2x-5$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{2x-13}{x-6} = \frac{x+6}{x}$

Это рациональное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения переменной $x$, которые обращают знаменатели в ноль.

ОДЗ:
$x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$
$x \neq 0$

На ОДЗ уравнение можно решить, используя основное свойство пропорции (умножая крест-накрест):
$x(2x - 13) = (x + 6)(x - 6)$

Раскроем скобки. В левой части применим распределительный закон, в правой — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$2x^2 - 13x = x^2 - 36$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.
$2x^2 - x^2 - 13x + 36 = 0$
$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Оба найденных корня ($4$ и $9$) входят в область допустимых значений ($x \neq 6$ и $x \neq 0$), следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 4; 9.

2) $\frac{3x^2 - 4x - 20}{x+2} = 2x - 5$

Найдем область допустимых значений, при которых знаменатель не равен нулю.

ОДЗ:
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

На ОДЗ умножим обе части уравнения на выражение $(x+2)$, чтобы избавиться от дроби.
$3x^2 - 4x - 20 = (2x - 5)(x + 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$3x^2 - 4x - 20 = 2x^2 + 4x - 5x - 10$
$3x^2 - 4x - 20 = 2x^2 - x - 10$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$3x^2 - 2x^2 - 4x + x - 20 + 10 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений ($x \neq -2$).
Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби равен нулю. Следовательно, $x=-2$ — это посторонний корень.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.