Номер 761, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 761, страница 186.

Условие.

761. Упростите выражение:

1) $ \frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} \cdot \frac{a - 2}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a}; $

2) $ \frac{b - 4}{b^3 - b} : \left( \frac{b - 1}{2b^2 + 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1} \right); $

3) $ \left( \frac{c + 2}{c^2 - c - 6} - \frac{2c}{c^2 - 6c + 9} \right) : \frac{c^2 + 3c}{(2c - 6)^2}; $

4) $ \left( \frac{3}{m - 4} + \frac{2m}{m + 1} + \frac{4m - 6}{m^2 - 3m - 4} \right) \cdot \frac{4m - 16}{2m - 3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} \cdot \frac{a - 2}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a}$

Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $9a^2 - 4 = (3a - 2)(3a + 2)$ (как разность квадратов).

Знаменатель первой дроби: $2a^2 - 5a + 2$. Найдем корни квадратного уравнения $2a^2 - 5a + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $a_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $a_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Следовательно, $2a^2 - 5a + 2 = 2(a - \frac{1}{2})(a - 2) = (2a - 1)(a - 2)$.

Знаменатель последней дроби: $1 - 2a = -(2a - 1)$.

Подставим разложенные многочлены в исходное выражение и выполним действия по порядку.

1. Выполним умножение:
$\frac{(3a - 2)(3a + 2)}{(2a - 1)(a - 2)} \cdot \frac{a - 2}{3a + 2} = \frac{3a - 2}{2a - 1}$, сократив на $(3a+2)$ и $(a-2)$.

2. Выполним сложение, учитывая преобразованный знаменатель последней дроби:
$\frac{3a - 2}{2a - 1} + \frac{a - 1}{-(2a - 1)} = \frac{3a - 2}{2a - 1} - \frac{a - 1}{2a - 1}$

Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{(3a - 2) - (a - 1)}{2a - 1} = \frac{3a - 2 - a + 1}{2a - 1} = \frac{2a - 1}{2a - 1} = 1$.

Ответ: 1.

2) $\frac{b - 4}{b^3 - b} : \left( \frac{b - 1}{2b^2 + 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1} \right)$

Разложим на множители знаменатели.

$b^3 - b = b(b^2 - 1) = b(b - 1)(b + 1)$.

$2b^2 + 3b + 1$. Найдем корни уравнения $2b^2 + 3b + 1 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2$.
$b_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$; $b_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$.
$2b^2 + 3b + 1 = 2(b + 1)(b + \frac{1}{2}) = (b + 1)(2b + 1)$.

$b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$.

1. Выполним действие в скобках:
$\frac{b - 1}{(b + 1)(2b + 1)} - \frac{1}{(b - 1)(b + 1)}$

Общий знаменатель: $(b - 1)(b + 1)(2b + 1)$.

$\frac{(b - 1)(b - 1)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} - \frac{1 \cdot (2b + 1)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{(b - 1)^2 - (2b + 1)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{b^2 - 2b + 1 - 2b - 1}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b^2 - 4b}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b(b - 4)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)}$.

2. Выполним деление. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$\frac{b - 4}{b(b - 1)(b + 1)} : \frac{b(b - 4)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b - 4}{b(b - 1)(b + 1)} \cdot \frac{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)}{b(b - 4)}$

Сократим общие множители $(b - 4)$, $(b - 1)$ и $(b + 1)$:

$\frac{1}{b} \cdot \frac{2b + 1}{b} = \frac{2b + 1}{b^2}$.

Ответ: $\frac{2b + 1}{b^2}$.

3) $\left( \frac{c + 2}{c^2 - c - 6} - \frac{2c}{c^2 - 6c + 9} \right) : \frac{c^2 + 3c}{(2c - 6)^2}$

Разложим на множители выражения в числителях и знаменателях.

$c^2 - c - 6$. Корни уравнения $c^2 - c - 6 = 0$ по теореме Виета $c_1 = 3, c_2 = -2$.
$c^2 - c - 6 = (c - 3)(c + 2)$.

$c^2 - 6c + 9 = (c - 3)^2$ (квадрат разности).

$c^2 + 3c = c(c + 3)$.

$(2c - 6)^2 = (2(c - 3))^2 = 4(c - 3)^2$.

1. Выполним действие в скобках:
$\frac{c + 2}{(c - 3)(c + 2)} - \frac{2c}{(c - 3)^2} = \frac{1}{c - 3} - \frac{2c}{(c - 3)^2}$

Приведем к общему знаменателю $(c - 3)^2$:

$\frac{1(c - 3)}{(c - 3)^2} - \frac{2c}{(c - 3)^2} = \frac{c - 3 - 2c}{(c - 3)^2} = \frac{-c - 3}{(c - 3)^2} = -\frac{c + 3}{(c - 3)^2}$.

2. Выполним деление:
$-\frac{c + 3}{(c - 3)^2} : \frac{c(c + 3)}{4(c - 3)^2} = -\frac{c + 3}{(c - 3)^2} \cdot \frac{4(c - 3)^2}{c(c + 3)}$

Сократим общие множители $(c + 3)$ и $(c - 3)^2$:

$-\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{c} = -\frac{4}{c}$.

Ответ: $-\frac{4}{c}$.

4) $\left( \frac{3}{m - 4} + \frac{2m}{m + 1} + \frac{4m - 6}{m^2 - 3m - 4} \right) \cdot \frac{4m - 16}{2m - 3}$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби в скобках и числитель второй дроби.

$m^2 - 3m - 4$. Корни уравнения $m^2 - 3m - 4 = 0$ по теореме Виета $m_1 = 4, m_2 = -1$.
$m^2 - 3m - 4 = (m - 4)(m + 1)$.

$4m - 16 = 4(m - 4)$.

1. Выполним сложение в скобках. Общий знаменатель: $(m - 4)(m + 1)$.

$\frac{3(m + 1)}{(m - 4)(m + 1)} + \frac{2m(m - 4)}{(m - 4)(m + 1)} + \frac{4m - 6}{(m - 4)(m + 1)}$

Сложим числители:

$\frac{3(m + 1) + 2m(m - 4) + 4m - 6}{(m - 4)(m + 1)} = \frac{3m + 3 + 2m^2 - 8m + 4m - 6}{(m - 4)(m + 1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2m^2 - m - 3}{(m - 4)(m + 1)}$

Разложим на множители числитель $2m^2 - m - 3$. Найдем корни уравнения $2m^2 - m - 3 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$m_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$; $m_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$2m^2 - m - 3 = 2(m + 1)(m - \frac{3}{2}) = (m + 1)(2m - 3)$.

Выражение в скобках равно: $\frac{(m + 1)(2m - 3)}{(m - 4)(m + 1)} = \frac{2m - 3}{m - 4}$.

2. Выполним умножение:

$\frac{2m - 3}{m - 4} \cdot \frac{4(m - 4)}{2m - 3}$

Сократим общие множители $(2m - 3)$ и $(m - 4)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: 4.