Номер 758, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 758, страница 185.

Условие.

758. Сократите дробь:

1) $\frac{4x^2 + x - 3}{x^2 - 1}$;

2) $\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1}$;

3) $\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20}$;

4) $\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{4x^2 + x - 3}{x^2 - 1}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Знаменатель $x^2 - 1$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Числитель $4x^2 + x - 3$ — это квадратный трехчлен. Для его разложения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.
Коэффициенты: $a=4, b=1, c=-3$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 7}{8}$.
$x_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$x_2 = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.
Разложим трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$4x^2 + x - 3 = 4(x - \frac{3}{4})(x - (-1)) = 4(x - \frac{3}{4})(x + 1) = (4x - 3)(x + 1)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{4x^2 + x - 3}{x^2 - 1} = \frac{(4x - 3)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4x - 3}{x - 1}$.
Сокращение возможно при условии $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Ответ: $\frac{4x - 3}{x - 1}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Знаменатель $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$.

Для разложения числителя $2y^2 + 3y - 5$ найдем корни уравнения $2y^2 + 3y - 5 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=3, c=-5$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$.
$y_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$y_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.
Разложение числителя:
$2y^2 + 3y - 5 = 2(y - 1)(y - (-\frac{5}{2})) = 2(y-1)(y+\frac{5}{2}) = (y-1)(2y+5)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(y-1)$:
$\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1} = \frac{(y-1)(2y+5)}{(y-1)^2} = \frac{2y+5}{y-1}$.
Сокращение возможно при $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$.
Ответ: $\frac{2y+5}{y-1}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20}$, разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе.

Разложим числитель $a^2 + 5a + 4$. Найдем корни уравнения $a^2 + 5a + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $a_1+a_2 = -5$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 4$. Легко подобрать корни: $a_1 = -1$ и $a_2 = -4$.
Тогда $a^2 + 5a + 4 = (a - (-1))(a - (-4)) = (a+1)(a+4)$.

Разложим знаменатель $a^2 - a - 20$. Найдем корни уравнения $a^2 - a - 20 = 0$. По теореме Виета, $a_1+a_2 = 1$ и $a_1 \cdot a_2 = -20$. Корни: $a_1 = 5$ и $a_2 = -4$.
Тогда $a^2 - a - 20 = (a - 5)(a - (-4)) = (a-5)(a+4)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20} = \frac{(a+1)(a+4)}{(a-5)(a+4)} = \frac{a+1}{a-5}$.
Сокращение возможно при $a+4 \neq 0$, то есть $a \neq -4$.
Ответ: $\frac{a+1}{a-5}$.

4) Для сокращения дроби $\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $-7b^2 + 20b + 3$. Найдем корни уравнения $-7b^2 + 20b + 3 = 0$.
Дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot (-7) \cdot 3 = 400 + 84 = 484 = 22^2$.
Корни: $b_{1,2} = \frac{-20 \pm 22}{2 \cdot (-7)} = \frac{-20 \pm 22}{-14}$.
$b_1 = \frac{-20 + 22}{-14} = \frac{2}{-14} = -\frac{1}{7}$.
$b_2 = \frac{-20 - 22}{-14} = \frac{-42}{-14} = 3$.
Разложение числителя:
$-7b^2 + 20b + 3 = -7(b - (-\frac{1}{7}))(b-3) = -7(b+\frac{1}{7})(b-3) = -(7b+1)(b-3) = (7b+1)(3-b)$.

Разложим знаменатель $7b^2 - 6b - 1$. Найдем корни уравнения $7b^2 - 6b - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.
Корни: $b_{1,2} = \frac{6 \pm 8}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm 8}{14}$.
$b_1 = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$.
$b_2 = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$.
Разложение знаменателя:
$7b^2 - 6b - 1 = 7(b-1)(b-(-\frac{1}{7})) = 7(b-1)(b+\frac{1}{7}) = (b-1)(7b+1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(7b+1)$:
$\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1} = \frac{(7b+1)(3-b)}{(b-1)(7b+1)} = \frac{3-b}{b-1}$.
Сокращение возможно при $7b+1 \neq 0$, то есть $b \neq -\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{3-b}{b-1}$.