Номер 753, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 753, страница 185.

Условие.

753. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 7x + 12;$

2) $x^2 + 8x + 15;$

3) $x^2 - 3x - 10;$

4) $-x^2 - 5x - 6;$

5) $-x^2 + x + 2;$

6) $6x^2 - 5x - 1;$

7) $4x^2 + 3x - 22;$

8) $-3a^2 + 8a + 3;$

9) $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1;$

10) $-2x^2 - 0,5x + 1,5;$

11) $0,4x^2 - 2x + 2,5;$

12) $-1,2m^2 + 2,6m - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на линейные множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1) $x^2 - 7x + 12$

Приравняем трёхчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Это приведённое квадратное уравнение ($a=1$). Коэффициенты: $a = 1$, $b = -7$, $c = 12$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Найдём корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 7x + 12 = 1 \cdot (x - 4)(x - 3) = (x - 3)(x - 4)$.

Ответ: $(x - 3)(x - 4)$.

2) $x^2 + 8x + 15$

Найдём корни уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 8$, $c = 15$.

Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.

Корни: $x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3$; $x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5$.

Разложение: $x^2 + 8x + 15 = 1 \cdot (x - (-3))(x - (-5)) = (x + 3)(x + 5)$.

Ответ: $(x + 3)(x + 5)$.

3) $x^2 - 3x - 10$

Найдём корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -3$, $c = -10$.

Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$; $x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

Разложение: $x^2 - 3x - 10 = 1 \cdot (x - 5)(x - (-2)) = (x - 5)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 5)(x + 2)$.

4) $-x^2 - 5x - 6$

Найдём корни уравнения $-x^2 - 5x - 6 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Коэффициенты исходного трёхчлена: $a = -1$, $b = -5$, $c = -6$.

Корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$; $x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$.

Разложение: $-x^2 - 5x - 6 = -1 \cdot (x - (-2))(x - (-3)) = -(x + 2)(x + 3)$.

Ответ: $-(x + 2)(x + 3)$.

5) $-x^2 + x + 2$

Найдём корни уравнения $-x^2 + x + 2 = 0$. Умножим на -1: $x^2 - x - 2 = 0$.

Коэффициент $a = -1$.

Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$; $x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$.

Разложение: $-x^2 + x + 2 = -1 \cdot (x - 2)(x - (-1)) = -(x - 2)(x + 1) = (2 - x)(x + 1)$.

Ответ: $(2 - x)(x + 1)$.

6) $6x^2 - 5x - 1$

Найдём корни уравнения $6x^2 - 5x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 6$, $b = -5$, $c = -1$.

Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.

Корни: $x_1 = \frac{5 + 7}{12} = 1$; $x_2 = \frac{5 - 7}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.

Разложение: $6x^2 - 5x - 1 = 6(x - 1)(x - (-\frac{1}{6})) = 6(x - 1)(x + \frac{1}{6})$.

Внесём множитель 6 во вторую скобку: $(x - 1) \cdot 6(x + \frac{1}{6}) = (x - 1)(6x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(6x + 1)$.

7) $4x^2 + 3x - 22$

Найдём корни уравнения $4x^2 + 3x - 22 = 0$.

Коэффициенты: $a = 4$, $b = 3$, $c = -22$.

Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-22) = 9 + 352 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 + 19}{8} = \frac{16}{8} = 2$; $x_2 = \frac{-3 - 19}{8} = -\frac{22}{8} = -\frac{11}{4}$.

Разложение: $4(x - 2)(x - (-\frac{11}{4})) = 4(x - 2)(x + \frac{11}{4}) = (x - 2)(4x + 11)$.

Ответ: $(x - 2)(4x + 11)$.

8) $-3a^2 + 8a + 3$

Найдём корни уравнения $-3a^2 + 8a + 3 = 0$. Умножим на -1: $3a^2 - 8a - 3 = 0$.

Коэффициент при старшем члене исходного трёхчлена: $A = -3$.

Корни уравнения $3a^2 - 8a - 3 = 0$: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

$a_1 = \frac{8 + 10}{6} = 3$; $a_2 = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Разложение: $-3(a - 3)(a - (-\frac{1}{3})) = -3(a - 3)(a + \frac{1}{3}) = (a - 3)(-3a - 1) = (3 - a)(3a + 1)$.

Ответ: $(3 - a)(3a + 1)$.

9) $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1$

Найдём корни уравнения $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1 = 0$. Умножим на 6: $b^2 - 5b + 6 = 0$.

Коэффициент $a = \frac{1}{6}$.

Корни уравнения $b^2 - 5b + 6 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$b_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$; $b_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$.

Разложение: $\frac{1}{6}(b - 3)(b - 2)$.

Ответ: $\frac{1}{6}(b - 2)(b - 3)$.

10) $-2x^2 - 0.5x + 1.5$

Найдём корни уравнения $-2x^2 - 0.5x + 1.5 = 0$. Умножим на -2: $4x^2 + x - 3 = 0$.

Коэффициент $a = -2$.

Корни уравнения $4x^2 + x - 3 = 0$: $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

$x_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$; $x_2 = \frac{-1 - 7}{8} = -1$.

Разложение: $-2(x - 0.75)(x - (-1)) = -2(x - 0.75)(x + 1) = (-2x + 1.5)(x + 1)$.

Ответ: $(-2x + 1.5)(x + 1)$.

11) $0.4x^2 - 2x + 2.5$

Найдём корни уравнения $0.4x^2 - 2x + 2.5 = 0$. Умножим на 10: $4x^2 - 20x + 25 = 0$.

Коэффициент $a = 0.4$.

Выражение $4x^2 - 20x + 25$ является полным квадратом: $(2x - 5)^2$.

Уравнение $(2x - 5)^2 = 0$ имеет один корень (кратности 2): $x = \frac{5}{2} = 2.5$.

Разложение: $0.4(x - 2.5)(x - 2.5) = 0.4(x - 2.5)^2$.

Ответ: $0.4(x - 2.5)^2$.

12) $-1.2m^2 + 2.6m - 1$

Найдём корни уравнения $-1.2m^2 + 2.6m - 1 = 0$. Умножим на -10: $12m^2 - 26m + 10 = 0$.

Разделим на 2: $6m^2 - 13m + 5 = 0$.

Коэффициент $a = -1.2$.

Корни уравнения $6m^2 - 13m + 5 = 0$: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49$.

$m_1 = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$; $m_2 = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Разложение: $-1.2(m - \frac{5}{3})(m - \frac{1}{2})$.

Представим $-1.2 = -0.2 \cdot 6 = -0.2 \cdot 3 \cdot 2$ и внесём множители 3 и 2 в скобки:

$-0.2 \cdot 3(m - \frac{5}{3}) \cdot 2(m - \frac{1}{2}) = -0.2(3m - 5)(2m - 1)$.

Ответ: $-0.2(3m - 5)(2m - 1)$.