Номер 759, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 759, страница 185.

Условие.

759. При каком значении $b$ разложение на линейные множители трёхчлена:

1) $2x^2 - 5x + b$ содержит множитель $(x - 3)$;

2) $-4x^2 + bx + 2$ содержит множитель $(x + 1)$;

3) $3x^2 - 4x + b$ содержит множитель $(3x - 2)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Если разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + b$ содержит множитель $(x - 3)$, это означает, что $x=3$ является корнем данного трёхчлена. Согласно теореме Безу, если подставить корень в многочлен, то его значение будет равно нулю. Выполним подстановку $x=3$ в трёхчлен и решим полученное уравнение:

$2 \cdot (3)^2 - 5 \cdot 3 + b = 0$
$2 \cdot 9 - 15 + b = 0$
$18 - 15 + b = 0$
$3 + b = 0$
$b = -3$

Ответ: $b = -3$.

2) Если разложение трёхчлена $-4x^2 + bx + 2$ содержит множитель $(x + 1)$, то $x=-1$ является корнем этого трёхчлена. Подставим значение $x=-1$ в трёхчлен и приравняем его к нулю:

$-4 \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 2 = 0$
$-4 \cdot 1 - b + 2 = 0$
$-4 - b + 2 = 0$
$-2 - b = 0$
$b = -2$

Ответ: $b = -2$.

3) Если разложение трёхчлена $3x^2 - 4x + b$ содержит множитель $(3x - 2)$, то корень этого множителя является и корнем самого трёхчлена. Найдём корень, приравняв множитель к нулю: $3x - 2 = 0$, откуда $x = \frac{2}{3}$.

Теперь подставим найденное значение $x = \frac{2}{3}$ в трёхчлен и решим уравнение относительно $b$:

$3 \cdot (\frac{2}{3})^2 - 4 \cdot (\frac{2}{3}) + b = 0$
$3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + b = 0$
$\frac{12}{9} - \frac{8}{3} + b = 0$
Приводим дроби к общему знаменателю. Сократим $\frac{12}{9}$ до $\frac{4}{3}$:
$\frac{4}{3} - \frac{8}{3} + b = 0$
$-\frac{4}{3} + b = 0$
$b = \frac{4}{3}$

Ответ: $b = \frac{4}{3}$.