Номер 756, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 756, страница 185.

Условие.

756. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5}$;

2) $\frac{2x + 12}{x^2 + 3x - 18}$;

3) $\frac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5}$, необходимо разложить на множители ее числитель.

Числитель $x^2 - 6x + 5$ является квадратным трехчленом. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ для его разложения. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-6) = 6$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5$

Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Разложение квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В данном случае $a=1$, поэтому:

$x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$

Теперь подставим полученное разложение обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5} = \frac{(x - 1)(x - 5)}{x - 5} = x - 1$

Сокращение возможно при условии, что $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Ответ: $x - 1$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{2x + 12}{x^2 + 3x - 18}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2x + 12 = 2(x + 6)$

В знаменателе имеем квадратный трехчлен $x^2 + 3x - 18$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = -6$

Разложение знаменателя на множители:

$x^2 + 3x - 18 = (x - 3)(x - (-6)) = (x - 3)(x + 6)$

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x + 6)$:

$\frac{2x + 12}{x^2 + 3x - 18} = \frac{2(x + 6)}{(x - 3)(x + 6)} = \frac{2}{x - 3}$

Сокращение возможно при условии, что $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

Ответ: $\frac{2}{x - 3}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2 + 9x + 14$ на множители, найдя корни уравнения $x^2 + 9x + 14 = 0$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -9$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 14$

Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -7$.

Разложение числителя:

$x^2 + 9x + 14 = (x - (-2))(x - (-7)) = (x + 2)(x + 7)$

Разложим знаменатель, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 + 7x = x(x + 7)$

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x + 7)$:

$\frac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x} = \frac{(x + 2)(x + 7)}{x(x + 7)} = \frac{x + 2}{x}$

Сокращение возможно при условии, что $x + 7 \neq 0$ ($x \neq -7$) и $x \neq 0$.

Ответ: $\frac{x + 2}{x}$