Страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

824. В раствор, содержащий 20 г соли, добавили 100 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Сколько граммов воды содержал раствор первоначально?

Пусть первоначально в растворе содержалось $x$ граммов воды. Масса соли по условию составляет 20 г.

Тогда масса всего первоначального раствора была $m_1 = (20 + x)$ г. Концентрация соли $C_1$ (массовая доля) в этом растворе вычисляется по формуле: $C_1 = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}} = \frac{20}{20 + x}$

После того как в раствор добавили 100 г воды, масса воды стала $(x + 100)$ г, а масса нового раствора стала $m_2 = 20 + (x + 100) = (120 + x)$ г. Концентрация соли в новом растворе $C_2$ стала: $C_2 = \frac{20}{120 + x}$

По условию задачи, концентрация соли уменьшилась на 10%. В долях это составляет 0,1. Это означает, что разница между первоначальной и конечной концентрациями равна 0,1. Составим уравнение: $C_1 - C_2 = 0.1$ $\frac{20}{20 + x} - \frac{20}{120 + x} = 0.1$

Для решения уравнения умножим обе его части на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{200}{20 + x} - \frac{200}{120 + x} = 1$ $\frac{200(120 + x) - 200(20 + x)}{(20 + x)(120 + x)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{24000 + 200x - 4000 - 200x}{(20 + x)(120 + x)} = 1$ $\frac{20000}{(20 + x)(120 + x)} = 1$

Из этого равенства следует, что знаменатель равен числителю: $(20 + x)(120 + x) = 20000$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $2400 + 20x + 120x + x^2 = 20000$ $x^2 + 140x + 2400 - 20000 = 0$ $x^2 + 140x - 17600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 140^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17600) = 19600 + 70400 = 90000$ $\sqrt{D} = \sqrt{90000} = 300$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-140 + 300}{2 \cdot 1} = \frac{160}{2} = 80$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-140 - 300}{2 \cdot 1} = \frac{-440}{2} = -220$

Так как масса воды ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -220$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальное количество воды в растворе составляет 80 г.

Проверка: Первоначальный раствор: 20 г соли и 80 г воды. Масса раствора 100 г. Концентрация $C_1 = \frac{20}{100} \cdot 100\% = 20\%$. Новый раствор: 20 г соли и (80 + 100) = 180 г воды. Масса раствора 200 г. Концентрация $C_2 = \frac{20}{200} \cdot 100\% = 10\%$. Разница концентраций: $20\% - 10\% = 10\%$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 80 г.

825. Кусок сплава меди и цинка, содержавший $10 \text{ кг}$ цинка, сплавили с $10 \text{ кг}$ меди. Полученный сплав содержит на $5 \%$ меди больше, чем исходный. Сколько килограммов меди содержал исходный кусок сплава?

Пусть $x$ кг — масса меди в исходном куске сплава. По условию, в этом куске содержалось 10 кг цинка, следовательно, общая масса исходного сплава составляла $(x + 10)$ кг.

Концентрация меди (процентное содержание в долях) в исходном сплаве равна отношению массы меди к общей массе сплава: $c_1 = \frac{x}{x + 10}$.

После того как к исходному сплаву добавили 10 кг меди, масса меди в новом сплаве стала $(x + 10)$ кг, а общая масса нового сплава увеличилась на 10 кг и стала $(x + 10) + 10 = (x + 20)$ кг.

Концентрация меди в новом, полученном сплаве: $c_2 = \frac{x + 10}{x + 20}$.

Согласно условию, содержание меди в новом сплаве на 5% больше, чем в исходном. Это означает, что разница в концентрациях составляет 5 процентных пунктов, то есть 0,05 в долях. На основе этого составим уравнение: $c_2 - c_1 = 0,05$.

Подставим выражения для $c_1$ и $c_2$ в уравнение: $\frac{x + 10}{x + 20} - \frac{x}{x + 10} = 0,05$.

Представим 0,05 в виде обыкновенной дроби $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ и приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x + 20)(x + 10)$: $\frac{(x + 10)(x + 10) - x(x + 20)}{(x + 20)(x + 10)} = \frac{1}{20}$.

Раскроем скобки и упростим числитель в левой части уравнения: $\frac{(x^2 + 20x + 100) - (x^2 + 20x)}{(x + 20)(x + 10)} = \frac{1}{20}$.

$\frac{100}{(x + 20)(x + 10)} = \frac{1}{20}$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $100 \cdot 20 = 1 \cdot (x + 20)(x + 10)$.

$2000 = x^2 + 10x + 20x + 200$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 30x + 200 - 2000 = 0$ $x^2 + 30x - 1800 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-30 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$. $x_2 = \frac{-30 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$.

Поскольку масса вещества не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, масса меди в исходном куске сплава составляла 30 кг.

Ответ: 30 кг.

826. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани A по течению реки навстречу ему от пристани B отошёл катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились на расстоянии 14 км от пристани A, скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а расстояние между пристанями A и B равно 32 км.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение, исходя из условия.

1. Введение переменных и определение скоростей
Пусть $x$ км/ч — это скорость течения реки. Поскольку плот движется со скоростью течения, его скорость $v_{плота} = x$ км/ч.
Скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч. Катер движется от пристани В к пристани А, то есть против течения реки. Следовательно, его скорость относительно берега равна $v_{катера} = (12 - x)$ км/ч.

2. Анализ движения плота
Плот отправился от пристани А и до встречи проплыл 14 км. Время, затраченное плотом на этот путь, составляет:
$t_{плота} = \frac{S_{плота}}{v_{плота}} = \frac{14}{x}$ часов.

3. Анализ движения катера
Общее расстояние между пристанями А и В составляет 32 км. Поскольку встреча произошла на расстоянии 14 км от пристани А, катер, вышедший из В, прошел до встречи расстояние:
$S_{катера} = 32 - 14 = 18$ км.
Время, затраченное катером на этот путь, составляет:
$t_{катера} = \frac{S_{катера}}{v_{катера}} = \frac{18}{12 - x}$ часов.

4. Составление и решение уравнения
Из условия известно, что катер отправился в путь на 2 часа 40 минут позже плота. Это означает, что время движения плота было на 2 ч 40 мин больше, чем время движения катера. Переведем это время в часы:
$2 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч } = \frac{8}{3}$ часа.
Теперь мы можем составить уравнение, связывающее время движения обоих объектов:
$t_{плота} - t_{катера} = \frac{8}{3}$
Подставим в него выражения для времени:
$\frac{14}{x} - \frac{18}{12 - x} = \frac{8}{3}$
Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $3x(12 - x)$. Учтем, что по физическому смыслу задачи $x > 0$, а также скорость катера против течения должна быть положительной, то есть $12 - x > 0$, откуда $x < 12$. Таким образом, искомое значение $x$ находится в интервале $(0; 12)$.
$14 \cdot 3(12 - x) - 18 \cdot 3x = 8 \cdot x(12 - x)$
$42(12 - x) - 54x = 8x(12 - x)$
$504 - 42x - 54x = 96x - 8x^2$
$504 - 96x = 96x - 8x^2$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$8x^2 - 96x - 96x + 504 = 0$
$8x^2 - 192x + 504 = 0$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 8:
$x^2 - 24x + 63 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 24, а их произведение — 63. Корнями являются числа 3 и 21.
$x_1 = 3$, $x_2 = 21$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $0 < x < 12$.
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет этому условию.
Корень $x_2 = 21$ не удовлетворяет условию, так как скорость течения не может быть больше собственной скорости катера, если он движется против течения.
Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

827. К бассейну подведены две трубы. Через одну трубу воду наливают в бассейн, а через другую сливают, причём на слив воды требуется на 1 ч больше, чем на его наполнение. Если же открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за 30 ч. За сколько часов можно наполнить пустой бассейн водой через первую трубу?

Для решения этой задачи примем весь объем бассейна за 1.

Пусть $x$ — время в часах, за которое первая труба наполняет бассейн. Тогда ее производительность (скорость работы) равна $\frac{1}{x}$ объема бассейна в час.

По условию, второй трубе на слив воды требуется на 1 час больше. Следовательно, время, за которое вторая труба полностью сливает воду из бассейна, составляет $x + 1$ часов. Производительность второй трубы равна $\frac{1}{x+1}$ объема бассейна в час.

Когда обе трубы открыты, первая труба наполняет бассейн, а вторая сливает из него воду. Общая скорость наполнения бассейна будет равна разности производительностей первой и второй труб:

$V_{общая} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

В задаче сказано, что при одновременной работе двух труб бассейн наполнится за 30 часов. Это значит, что общая производительность составляет $\frac{1}{30}$ объема бассейна в час. Можем составить уравнение:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{30}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

$\frac{x+1-x}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

Из этого следует, что знаменатели дробей равны:

$x(x+1) = 30$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$x^2 + x - 30 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку время ($x$) не может быть отрицательным значением, корень $x_2 = -6$ не подходит по условию задачи.

Таким образом, время, за которое первая труба может наполнить пустой бассейн, составляет 5 часов.

Ответ: 5 часов.

828. Для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же времени, сколько для наполнения через вторую и третью трубы одновременно. Через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч быстрее, чем через вторую, и на 8 ч быстрее, чем через третью. Сколько времени требуется для наполнения бассейна через каждую трубу?

Пусть $t_1$, $t_2$ и $t_3$ — время в часах, за которое бассейн может наполниться через первую, вторую и третью трубу соответственно, если каждая работает отдельно.

Из условия задачи известно, что первая труба наполняет бассейн на 2 часа быстрее второй и на 8 часов быстрее третьей. Если время работы первой трубы обозначить как $x$, то время работы второй и третьей труб можно выразить через $x$:
$t_1 = x$
$t_2 = x + 2$
$t_3 = x + 8$

Производительность (часть бассейна, наполняемая за 1 час) для каждой трубы — это величина, обратная времени её работы. Примем весь объём бассейна за 1.
Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{x}$
Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{x+2}$
Производительность третьей трубы: $P_3 = \frac{1}{t_3} = \frac{1}{x+8}$

По условию, время наполнения бассейна через первую трубу равно времени наполнения через вторую и третью трубы, работающие одновременно. Это означает, что производительность первой трубы равна сумме производительностей второй и третьей труб:
$P_1 = P_2 + P_3$

Составим уравнение, подставив в него выражения для производительностей:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+8}$

Решим полученное уравнение. Для этого приведём дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{1}{x} = \frac{(x+8) + (x+2)}{(x+2)(x+8)}$
$\frac{1}{x} = \frac{2x + 10}{x^2 + 8x + 2x + 16}$
$\frac{1}{x} = \frac{2x + 10}{x^2 + 10x + 16}$

Используя свойство пропорции (перекрёстное умножение) и учитывая, что по смыслу задачи $x>0$:
$1 \cdot (x^2 + 10x + 16) = x \cdot (2x + 10)$
$x^2 + 10x + 16 = 2x^2 + 10x$

Вычтем $10x$ из обеих частей уравнения:
$x^2 + 16 = 2x^2$

Перенесём $x^2$ в правую часть:
$16 = 2x^2 - x^2$
$x^2 = 16$

Поскольку время $x$ не может быть отрицательным, выбираем положительный корень уравнения:
$x = 4$

Таким образом, время наполнения бассейна через первую трубу равно 4 часам. Теперь найдём время для двух других труб:
Время для второй трубы: $t_2 = x + 2 = 4 + 2 = 6$ часов.
Время для третьей трубы: $t_3 = x + 8 = 4 + 8 = 12$ часов.

Ответ: время наполнения бассейна через первую трубу — 4 часа, через вторую трубу — 6 часов, через третью трубу — 12 часов.

829. Автобус должен был проехать расстояние между двумя городами, равное 400 км, с некоторой скоростью. Проехав 2 ч с запланированной скоростью, он остановился на 20 мин и, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, увеличил скорость движения на 10 км/ч. С какой скоростью автобус должен был проехать расстояние между городами?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение, исходя из условия, что автобус прибыл в пункт назначения вовремя, то есть фактическое время в пути равно плановому.

Пусть $v$ (км/ч) — это запланированная (начальная) скорость автобуса.
Общее расстояние равно 400 км.
Плановое время в пути составляет $T_{план} = \frac{S}{v} = \frac{400}{v}$ часов.

Разобьем фактическую поездку на этапы:
1. Движение с плановой скоростью: Автобус проехал 2 часа со скоростью $v$. Пройденное расстояние: $S_1 = 2v$ км.
2. Остановка: Время остановки составило 20 минут, что равно $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.
3. Движение с увеличенной скоростью:
- Оставшееся расстояние: $S_2 = 400 - S_1 = 400 - 2v$ км.
- Новая скорость: $v_2 = v + 10$ км/ч.
- Время, затраченное на оставшийся путь: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

Общее фактическое время в пути $T_{факт}$ — это сумма времени всех этапов: $T_{факт} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

Так как по условию автобус прибыл вовремя, $T_{план} = T_{факт}$. Составим уравнение:

$\frac{400}{v} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{400 - 2v}{v + 10}$

Упростим правую часть:

$\frac{400}{v} = \frac{7}{3} + \frac{400 - 2v}{v + 10}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $3v(v + 10)$, учитывая, что $v \neq 0$ и $v \neq -10$.

$400 \cdot 3(v + 10) = \frac{7}{3} \cdot 3v(v + 10) + \frac{400 - 2v}{v + 10} \cdot 3v(v + 10)$

$1200(v + 10) = 7v(v + 10) + 3v(400 - 2v)$

Раскроем скобки:

$1200v + 12000 = 7v^2 + 70v + 1200v - 6v^2$

Приведем подобные слагаемые:

$1200v + 12000 = v^2 + 1270v$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 1270v - 1200v - 12000 = 0$

$v^2 + 70v - 12000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = 70, c = -12000$

$D = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 4900 + 48000 = 52900$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 \pm \sqrt{52900}}{2 \cdot 1} = \frac{-70 \pm 230}{2}$

$v_1 = \frac{-70 + 230}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-70 - 230}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -150$ не является решением задачи. Следовательно, запланированная скорость автобуса равна 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.

830. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 360 деталей. Первые 5 дней он ежедневно изготавливал запланированное количество деталей, а затем ежедневно изготавливал на 4 детали больше, и уже за день до срока изготовил 372 детали. Сколько деталей ежедневно должен был изготавливать рабочий по плану?

Пусть $x$ — запланированное количество деталей, которое рабочий должен был изготавливать ежедневно (ежедневная производительность по плану).

Тогда запланированное время на изготовление 360 деталей составляет $t = \frac{360}{x}$ дней.

Составление уравнения по условию задачи:

Первые 5 дней рабочий работал по плану и изготовил $5x$ деталей.

Затем он увеличил свою производительность на 4 детали в день, то есть стал изготавливать $x+4$ деталей ежедневно.

Вся работа была закончена на 1 день раньше запланированного срока, то есть общее время работы составило $t-1$ дней.

Следовательно, после первых 5 дней рабочий трудился еще $(t-1) - 5 = t-6$ дней.

За эти $t-6$ дней он изготовил $(t-6)(x+4)$ деталей.

Всего за все время работы было изготовлено 372 детали. Составим уравнение, суммируя детали, изготовленные в два периода:
$5x + (t-6)(x+4) = 372$

Решение уравнения:

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для времени $t = \frac{360}{x}$:
$5x + \left(\frac{360}{x} - 6\right)(x+4) = 372$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:
$5x + \frac{360}{x} \cdot x + \frac{360}{x} \cdot 4 - 6 \cdot x - 6 \cdot 4 = 372$
$5x + 360 + \frac{1440}{x} - 6x - 24 = 372$

Приведем подобные слагаемые:
$(5x - 6x) + (360 - 24) + \frac{1440}{x} = 372$
$-x + 336 + \frac{1440}{x} = 372$

Перенесем число 336 в правую часть:
$-x + \frac{1440}{x} = 372 - 336$
$-x + \frac{1440}{x} = 36$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что логично для производительности):
$-x^2 + 1440 = 36x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 36x - 1440 = 0$

Решение квадратного уравнения:

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 1296 + 5760 = 7056$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-36 - 84}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$
$x_2 = \frac{-36 + 84}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24$

Так как $x$ обозначает количество деталей, изготавливаемых в день, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_1 = -60$ не является решением задачи.

Следовательно, рабочий по плану должен был изготавливать 24 детали ежедневно.

Ответ: 24 детали.

831. Чтобы выполнить некоторое производственное задание, одному рабочему требуется на 12 ч меньше, чем другому, и на 4 ч больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения задания. За сколько часов может выполнить это задание первый рабочий?

Пусть $t_1$ часов — время, за которое первый рабочий выполнит задание, работая самостоятельно. Это искомая величина.

Согласно условию задачи, первому рабочему требуется на 12 часов меньше, чем второму. Следовательно, время, которое требуется второму рабочему ($t_2$), составляет:
$t_2 = t_1 + 12$ часов.

Также по условию, первому рабочему требуется на 4 часа больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения задания. Это означает, что время совместной работы ($t_{совм}$) составляет:
$t_{совм} = t_1 - 4$ часов.

Примем объем всей работы за 1 единицу. Тогда производительность (скорость работы) каждого рабочего и их совместная производительность будут следующими:
Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час).
Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_1 + 12}$ (часть работы в час).
Совместная производительность равна сумме их производительностей: $P_{совм} = P_1 + P_2$.
Время совместной работы связано с совместной производительностью формулой: $t_{совм} = \frac{1}{P_{совм}}$.

Подставим выражения для производительностей в формулу совместной работы:
$t_{совм} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 12}}$

Теперь у нас есть два выражения для $t_{совм}$. Приравняем их, чтобы составить уравнение:
$t_1 - 4 = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 12}}$

Решим полученное уравнение относительно $t_1$. Сначала упростим правую часть. Найдем общий знаменатель для дробей в знаменателе:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 12} = \frac{t_1 + 12 + t_1}{t_1(t_1 + 12)} = \frac{2t_1 + 12}{t_1^2 + 12t_1}$
Теперь уравнение выглядит так:
$t_1 - 4 = \frac{1}{\frac{2t_1 + 12}{t_1^2 + 12t_1}} = \frac{t_1^2 + 12t_1}{2t_1 + 12}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2t_1 + 12)$, чтобы избавиться от дроби (при условии, что $t_1 > 4$, знаменатель не равен нулю):
$(t_1 - 4)(2t_1 + 12) = t_1^2 + 12t_1$
Раскроем скобки:
$2t_1^2 + 12t_1 - 8t_1 - 48 = t_1^2 + 12t_1$
$2t_1^2 + 4t_1 - 48 = t_1^2 + 12t_1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2t_1^2 - t_1^2 + 4t_1 - 12t_1 - 48 = 0$
$t_1^2 - 8t_1 - 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$
$\sqrt{D} = 16$
Найдем корни:
$t_{1,1} = \frac{-(-8) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$t_{1,2} = \frac{-(-8) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как время не может быть отрицательным, корень $t_1 = -4$ является посторонним и не соответствует условию задачи. Следовательно, время выполнения задания первым рабочим составляет 12 часов.
Проверка:
Время первого рабочего $t_1 = 12$ ч.
Время второго рабочего $t_2 = 12 + 12 = 24$ ч.
Время совместной работы $t_{совм} = 12 - 4 = 8$ ч.
Проверим по формуле совместной работы: $\frac{1}{1/12 + 1/24} = \frac{1}{(2+1)/24} = \frac{1}{3/24} = \frac{24}{3} = 8$ ч.
Результаты сходятся, решение верное.
Ответ: 12 часов.

832. Вычислите:

1) $ (27 \cdot 3^{-4})^2 $

2) $ \frac{7^{-4} \cdot 7^{-9}}{7^{-12}} $

3) $ (10^9)^2 \cdot 1000^{-6} $

1) $(27 \cdot 3^{-4})^2$

Для решения этого примера используем свойства степеней. Сначала представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение, получив $(3^3 \cdot 3^{-4})^2$.

Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), упростим выражение в скобках: $3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3+(-4)} = 3^{-1}$.

Теперь выражение принимает вид $(3^{-1})^2$. Применим свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2}$.

Наконец, вычислим итоговое значение, используя определение степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$): $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) $\frac{7^{-4} \cdot 7^{-9}}{7^{-12}}$

Для решения используем свойства степеней с одинаковым основанием. Сначала упростим числитель дроби, сложив показатели степеней при умножении ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $7^{-4} \cdot 7^{-9} = 7^{-4 + (-9)} = 7^{-13}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{7^{-13}}{7^{-12}}$.

Далее упростим дробь, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$): $\frac{7^{-13}}{7^{-12}} = 7^{-13 - (-12)} = 7^{-13 + 12} = 7^{-1}$.

Вычислим конечное значение, используя определение степени с отрицательным показателем: $7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$

3) $(10^9)^2 \cdot 1000^{-6}$

Упростим первую часть выражения, используя правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(10^9)^2 = 10^{9 \cdot 2} = 10^{18}$.

Далее, представим число 1000 как степень числа 10: $1000 = 10^3$.

Подставим это во вторую часть выражения и упростим ее: $1000^{-6} = (10^3)^{-6} = 10^{3 \cdot (-6)} = 10^{-18}$.

Теперь все выражение выглядит так: $10^{18} \cdot 10^{-18}$.

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $10^{18} \cdot 10^{-18} = 10^{18 + (-18)} = 10^0$.

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1 ($a^0=1$), поэтому $10^0 = 1$.

Ответ: $1$