Номер 838, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 838, страница 203.

Условие.

838. На тарелке лежит 9 кусочков сыра разной массы. Докажите, что можно один из кусочков сыра разрезать на две части так, что полученные 10 кусочков можно будет разложить на две тарелки и при этом масса сыра на каждой из них будет одинаковой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим массы девяти кусочков сыра как $m_1, m_2, \dots, m_9$. Все массы по условию различны и положительны. Общая масса всего сыра равна $M = \sum_{i=1}^{9} m_i$.

Наша цель — разрезать один из кусочков на две части, получив в итоге 10 кусочков, которые можно разложить на две тарелки с равной массой сыра на каждой. Если общая масса $M$ делится поровну, то на каждой тарелке должно оказаться по $M/2$ сыра.

Доказательство можно построить следующим образом.

1. Сведение задачи к поиску подходящего распределения масс

Рассмотрим произвольное распределение исходных 9 кусочков по двум тарелкам. Пусть на первой тарелке оказалась масса $S_1$, а на второй — $S_2$. Очевидно, что $S_1 + S_2 = M$.

Пусть $S_1 \ge S_2$. Если $S_1 = S_2$, то массы уже равны. Мы можем разрезать любой кусочек на две части и положить обе части на ту же тарелку, где был исходный кусок. В результате у нас будет 10 кусочков, и массы на тарелках по-прежнему будут равны. Задача в этом случае решена.

Рассмотрим нетривиальный случай, когда $S_1 > S_2$. Разница в массах составляет $D = S_1 - S_2 > 0$. Чтобы уравнять массы, нам нужно перенести часть сыра с первой (более тяжелой) тарелки на вторую. Возьмем какой-нибудь кусочек с массой $m_k$ с первой тарелки. Разрежем его на две части: $x$ и $m_k-x$. Часть массой $x$ переложим на вторую тарелку, а часть $m_k-x$ оставим на первой.

Новая масса на первой тарелке станет $S_1' = S_1 - x$.
Новая масса на второй тарелке станет $S_2' = S_2 + x$.

Мы хотим, чтобы $S_1' = S_2'$, то есть $S_1 - x = S_2 + x$. Отсюда $2x = S_1 - S_2 = D$, и $x = D/2$.

Такой разрез возможен, если выполняются два условия:

1. Кусочек с массой $m_k$ действительно находится на более тяжелой, первой тарелке.
2. Размер отрезаемой части $x$ должен быть строго между 0 и массой целого куска $m_k$, то есть $0 < x < m_k$. Подставляя $x=D/2$, получаем $0 < D/2 < m_k$, что равносильно $0 < D < 2m_k$.

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что существует такое распределение исходных 9 кусков по двум тарелкам, что для некоторого куска $m_k$ на более тяжелой тарелке выполняется условие $0 < D < 2m_k$, где $D$ — разница масс.

2. Использование метода крайнего

Любое распределение 9 кусочков по двум тарелкам можно описать набором знаков $\{\epsilon_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_9\}$, где $\epsilon_i = +1$, если кусок $m_i$ лежит на первой тарелке, и $\epsilon_i = -1$, если он на второй. Разность масс $D$ для такого распределения равна $D = \sum_{i=1}^{9} \epsilon_i m_i$.

Всего существует $2^9 = 512$ таких распределений и, соответственно, 512 возможных значений разности $D$ (некоторые из них могут совпадать). Поскольку общая масса $M = \sum m_i > 0$, среди этих значений точно есть положительные (например, когда все $\epsilon_i=1$, $D=M$).

Рассмотрим множество всех положительных значений разностей $D$ и выберем из них наименьшее. Обозначим его $D^*$.$D^* = \min \{ \sum_{i=1}^{9} \epsilon_i m_i \mid \sum_{i=1}^{9} \epsilon_i m_i > 0 \}$.

Пусть это минимальное положительное значение достигается при наборе знаков $\{\epsilon_1^*, \epsilon_2^*, \dots, \epsilon_9^*\}$.

3. Доказательство от противного

Для разности $D^*$ первая тарелка тяжелее второй. На ней лежат все кусочки $m_k$, для которых $\epsilon_k^* = 1$. Докажем, что хотя бы для одного из этих кусочков выполняется условие $D^* < 2m_k$.

Предположим противное: пусть для всех кусочков $m_k$, лежащих на первой тарелке (т.е. для всех $k$, где $\epsilon_k^*=1$), выполняется неравенство $D^* \ge 2m_k$.

Поскольку $D^* > 0$, должен существовать хотя бы один кусок на первой тарелке (иначе $D^* = \sum (-1)m_i = -M < 0$). Возьмем любой из них, скажем $m_j$ (то есть $\epsilon_j^*=1$).

Рассмотрим новое распределение, которое получается из текущего переносом куска $m_j$ с первой тарелки на вторую. Это равносильно изменению знака $\epsilon_j^*$ с $+1$ на $-1$. Новая разность масс $D'$ будет равна:

$D' = (\sum_{i \ne j} \epsilon_i^* m_i) - m_j = (\sum_{i=1}^{9} \epsilon_i^* m_i - m_j) - m_j = D^* - 2m_j$.

Проанализируем значение $D'$:

• Согласно нашему предположению, $D^* \ge 2m_j$. Следовательно, $D' = D^* - 2m_j \ge 0$.
• $D'$ не может быть равно 0. Если $D' = 0$, то $D^* = 2m_j$. Это означает, что для исходного распределения разность масс была $2m_j$. В этом случае можно было бы просто переложить кусок $m_j$ на вторую тарелку, и массы бы уравнялись ($S_1' = S_1-m_j$, $S_2' = S_2+m_j$, $S_1'-S_2' = S_1-S_2-2m_j = D^*-2m_j = 0$). Мы бы получили 9 кусков, разделенных на две равные по массе кучки. Тогда, как было сказано вначале, достаточно разрезать любой кусок и положить обе части на ту же тарелку, чтобы получить 10 кусков и сохранить равенство. Таким образом, этот случай нас тоже устраивает.
• Будем считать, что $D' \ne 0$. Тогда из $D' \ge 0$ следует, что $D' > 0$.
• Так как масса $m_j$ строго положительна, то $D' = D^* - 2m_j < D^*$.

Итак, мы получили новую положительную разность $D'$, которая строго меньше $D^*$. Но это противоречит нашему выбору $D^*$ как наименьшей положительной разности.

4. Заключение

Полученное противоречие означает, что наше предположение было неверным. Следовательно, неверно, что для всех $k$ с $\epsilon_k^*=1$ выполняется $D^* \ge 2m_k$. Значит, существует по крайней мере один кусочек $m_k$ на первой (более тяжелой) тарелке, для которого выполняется неравенство $D^* < 2m_k$.

Это именно то, что нам требовалось. Мы нашли распределение (которое дает разность $D^*$) и кусок $m_k$ на более тяжелой тарелке, который можно разрезать на части $x=D^*/2$ и $m_k-D^*/2$ и, переложив первую часть на другую тарелку, добиться идеального равенства масс.

Ответ: Утверждение доказано. Всегда можно найти способ разрезать один из 9 кусочков сыра так, чтобы полученные 10 кусочков можно было разложить на две тарелки с одинаковой массой сыра на каждой.