Номер 836, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 836, страница 203.

Условие.

836. Какое из равенств верно: $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = \sqrt{3}-2$ или $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = 2-\sqrt{3}$?
Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, какое из равенств верно, необходимо воспользоваться определением арифметического квадратного корня из квадрата числа. Для любого действительного числа $a$ справедливо тождество:

$\sqrt{a^2} = |a|$

где $|a|$ – это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применим это правило к выражению $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$:

$\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2|$

Далее, чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения под модулем, то есть $\sqrt{3}-2$. Для этого сравним числа $\sqrt{3}$ и $2$.

Можно сравнить их квадраты:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$2^2 = 4$

Так как $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, следовательно, $\sqrt{3} < 2$.

Это означает, что разность $\sqrt{3}-2$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под знаком модуля отрицательно ($a < 0$), то его модуль равен противоположному выражению ($|a| = -a$).

Следовательно:

$|\sqrt{3}-2| = -(\sqrt{3}-2) = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$

Таким образом, верным является второе равенство.

Ответ: Верно равенство $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = 2-\sqrt{3}$.