Страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие из данных предложений являются высказываниями:

1) $5 > 5$;

2) $x < 5$;

3) что больше, $\sin 30^\circ$ или $\cos 45^\circ$?

4) если четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм, то $AB = CD$;

5) число 1 не является ни простым, ни составным;

6) неверно, что 5 – действительное число;

7) все кошки серые?

В логике высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Проанализируем каждое предложение с этой точки зрения.

1) Предложение "$5 > 5$" является повествовательным предложением, утверждающим, что число 5 больше самого себя. Мы можем однозначно определить истинность этого утверждения. В данном случае оно ложно, так как $5 = 5$. Поскольку можно однозначно определить истинность или ложность, это предложение является высказыванием.
Ответ: является высказыванием.

2) Предложение "$x < 5$" содержит переменную $x$. Его истинность зависит от значения этой переменной. Например, при $x = 3$ оно истинно, а при $x = 10$ — ложно. Предложения, истинность которых зависит от переменных, называются предикатами (или высказывательными формами), но не являются высказываниями до тех пор, пока переменной не присвоено конкретное значение.
Ответ: не является высказыванием.

3) Это предложение является вопросительным ("что больше..."). Оно не утверждает ничего, а запрашивает информацию. Вопросительные предложения не могут быть истинными или ложными, поэтому они не являются высказываниями.
Ответ: не является высказыванием.

4) Это предложение имеет форму логического следования (импликации): "если A, то B". Оно утверждает, что из того, что четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, следует, что его противоположные стороны $AB$ и $CD$ равны. Это утверждение является одной из теорем геометрии (свойство параллелограмма) и является истинным. Следовательно, это высказывание.
Ответ: является высказыванием.

5) Это повествовательное предложение, которое делает конкретное утверждение о числе 1. Согласно определению, простое число — это натуральное число больше 1, имеющее ровно два делителя (1 и само себя). Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Число 1 не подпадает ни под одно из этих определений. Таким образом, утверждение "число 1 не является ни простым, ни составным" является истинным. Следовательно, это высказывание.
Ответ: является высказыванием.

6) Это предложение является отрицанием утверждения "5 — действительное число". Утверждение "5 — действительное число" является истинным, так как 5 принадлежит множеству действительных чисел $R$. Отрицание истинного утверждения ("неверно, что...") является ложным. Так как мы можем однозначно определить, что данное предложение ложно, оно является высказыванием.
Ответ: является высказыванием.

7) Это предложение является вопросительным, о чем свидетельствует знак вопроса в конце. Оно не утверждает, а спрашивает. Вопросительные предложения не являются высказываниями.
Ответ: не является высказыванием.

2. Даны два высказывания:

$A = \{5 < 6\}, B = \{6 - \text{простое число}\}$.

Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $A \land B;$

2) $A \lor B;$

3) $A \Rightarrow B;$

4) $A \Leftrightarrow B;$

5) $\overline{A};$

6) $\overline{B}.$

Для начала определим истинность исходных высказываний A и B.

Высказывание A: $5 < 6$. Это неравенство верное, следовательно, высказывание A является истинным. Обозначим истину как 1. Итак, $A = 1$.

Высказывание B: «6 – простое число». Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Число 6 имеет делители 1, 2, 3, 6. Так как у него больше двух делителей, оно является составным, а не простым. Следовательно, высказывание B является ложным. Обозначим ложь как 0. Итак, $B = 0$.

Теперь определим истинность или ложность каждого из предложенных высказываний, используя значения $A = 1$ и $B = 0$.

1) $A \wedge B$

Это операция конъюнкции (логическое «И»). Высказывание $A \wedge B$ истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания, A и B, истинны. В нашем случае A истинно ($1$), а B ложно ($0$).

$1 \wedge 0 = 0$ (Ложь).

Следовательно, высказывание $A \wedge B$ является ложным.

Ответ: ложно.

2) $A \vee B$

Это операция дизъюнкции (логическое «ИЛИ»). Высказывание $A \vee B$ истинно, если хотя бы одно из высказываний, A или B, истинно. В нашем случае A истинно ($1$).

$1 \vee 0 = 1$ (Истина).

Следовательно, высказывание $A \vee B$ является истинным.

Ответ: истинно.

3) $A \Rightarrow B$

Это операция импликации (логическое следование). Высказывание $A \Rightarrow B$ ложно тогда и только тогда, когда из истинного высказывания A следует ложное высказывание B. В нашем случае A истинно ($1$), а B ложно ($0$).

$1 \Rightarrow 0 = 0$ (Ложь).

Следовательно, высказывание $A \Rightarrow B$ является ложным.

Ответ: ложно.

4) $A \Leftrightarrow B$

Это операция эквиваленции (равнозначности). Высказывание $A \Leftrightarrow B$ истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания, A и B, имеют одинаковую истинность (оба истинны или оба ложны). В нашем случае A истинно ($1$), а B ложно ($0$).

$1 \Leftrightarrow 0 = 0$ (Ложь).

Следовательно, высказывание $A \Leftrightarrow B$ является ложным.

Ответ: ложно.

5) $\bar{A}$

Это операция отрицания (логическое «НЕ»). Высказывание $\bar{A}$ имеет противоположное значение истинности высказыванию A. Так как A истинно ($1$), его отрицание будет ложным.

$\bar{1} = 0$ (Ложь).

Следовательно, высказывание $\bar{A}$ является ложным.

Ответ: ложно.

6) $\bar{B}$

Это операция отрицания (логическое «НЕ»). Высказывание $\bar{B}$ имеет противоположное значение истинности высказыванию B. Так как B ложно ($0$), его отрицание будет истинным.

$\bar{0} = 1$ (Истина).

Следовательно, высказывание $\bar{B}$ является истинным.

Ответ: истинно.

3. Составьте таблицу истинности для логического выражения:

1) $ \overline{A} \Rightarrow B; $

2) $ (A \vee B) \wedge C; $

3) $ (A \wedge B) \Rightarrow C; $

4) $ (A \Rightarrow B) \wedge (B \vee C); $

5) $ (A \wedge \overline{C}) \Rightarrow B. $

Для решения задачи построим таблицы истинности для каждого логического выражения. В таблицах "0" обозначает "Ложь", а "1" - "Истина".

В данном выражении участвуют две переменные (A, B), поэтому таблица истинности будет содержать $2^2 = 4$ строки. Порядок операций: сначала выполняется отрицание $\bar{A}$, затем импликация $\Rightarrow$.

Ответ: Столбец значений для выражения $\bar{A} \Rightarrow B$ при наборах (A,B) от (0,0) до (1,1) равен (0, 1, 1, 1).

В данном выражении три переменные (A, B, C), поэтому таблица истинности будет содержать $2^3 = 8$ строк. Порядок операций: сначала выполняется дизъюнкция $(A \lor B)$, затем конъюнкция $\land$.

Ответ: Столбец значений для выражения $(A \lor B) \land C$ при наборах (A,B,C) от (0,0,0) до (1,1,1) равен (0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1).

В данном выражении три переменные (A, B, C), поэтому таблица истинности будет содержать $2^3 = 8$ строк. Порядок операций: сначала выполняется конъюнкция $(A \land B)$, затем импликация $\Rightarrow$.

Ответ: Столбец значений для выражения $(A \land B) \Rightarrow C$ при наборах (A,B,C) от (0,0,0) до (1,1,1) равен (1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1).

В данном выражении три переменные (A, B, C), поэтому таблица истинности будет содержать $2^3 = 8$ строк. Порядок операций: сначала вычисляются выражения в скобках $(A \Rightarrow B)$ и $(B \lor C)$, затем выполняется их конъюнкция $\land$.

Ответ: Столбец значений для выражения $(A \Rightarrow B) \land (B \lor C)$ при наборах (A,B,C) от (0,0,0) до (1,1,1) равен (0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1).

В данном выражении три переменные (A, B, C), поэтому таблица истинности будет содержать $2^3 = 8$ строк. Порядок операций: сначала отрицание $\bar{C}$, затем конъюнкция $(A \land \bar{C})$, и в конце импликация $\Rightarrow$.

Ответ: Столбец значений для выражения $(A \land \bar{C}) \Rightarrow B$ при наборах (A,B,C) от (0,0,0) до (1,1,1) равен (1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1).

4. Докажите, что:

1) $\overline{\overline{A}} = A;$

2) $A \wedge A = A;$

3) $A \vee B = B \vee A;$

4) $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C);$

5) $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B};$

6) $(A \Rightarrow B) = \overline{B} \Rightarrow \overline{A}.$

1) Докажите, что $\overline{\overline{A}} = A$

Это тождество известно как закон двойного отрицания. Для его доказательства построим таблицу истинности. В таблице мы сравним значения выражения $\overline{\overline{A}}$ со значениями исходного высказывания $A$ для всех возможных логических значений $A$ (0 - ложь, 1 - истина).

Сравнивая первый и третий столбцы таблицы, мы видим, что они полностью совпадают. Это означает, что выражения $A$ и $\overline{\overline{A}}$ эквивалентны при любых значениях $A$.

Ответ: Тождество $\overline{\overline{A}} = A$ доказано, поскольку столбцы значений для $A$ и $\overline{\overline{A}}$ в таблице истинности полностью совпадают.

2) Докажите, что $A \wedge A = A$

Это тождество является законом идемпотентности для конъюнкции (логического "И"). Докажем его с помощью таблицы истинности для переменной $A$.

Как видно из таблицы, значения в столбцах для $A$ и $A \wedge A$ идентичны. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \wedge A = A$ доказано, так как результаты операции $A \wedge A$ совпадают со значениями $A$ для всех возможных случаев.

3) Докажите, что $A \vee B = B \vee A$

Это коммутативный (переместительный) закон для дизъюнкции (логического "ИЛИ"). Доказательство проведем путем построения таблицы истинности для всех возможных комбинаций значений переменных $A$ и $B$.

Сравнивая столбцы для $A \vee B$ и $B \vee A$, мы видим, что они полностью совпадают для всех комбинаций $A$ и $B$. Это доказывает справедливость тождества.

Ответ: Тождество $A \vee B = B \vee A$ доказано, так как таблицы истинности для левой и правой частей выражения полностью совпадают.

4) Докажите, что $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$

Это дистрибутивный (распределительный) закон дизъюнкции относительно конъюнкции. Для доказательства составим полную таблицу истинности для трех переменных $A$, $B$ и $C$.

Столбцы, выделенные жирным шрифтом (пятый и восьмой), представляют собой значения левой и правой частей равенства. Так как они полностью совпадают для всех восьми возможных комбинаций значений $A, B, C$, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ доказано, так как итоговые столбцы значений для левой и правой частей в таблице истинности идентичны.

5) Докажите, что $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$

Это один из законов де Моргана. Докажем его с помощью таблицы истинности для переменных $A$ и $B$.

Сравнивая выделенные жирным шрифтом столбцы для $\overline{A \vee B}$ и $\overline{A} \wedge \overline{B}$, мы видим их полное совпадение. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$ доказано путем построения таблицы истинности, которая показала эквивалентность левой и правой частей выражения.

6) Докажите, что $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$

Это тождество называется законом контрапозиции. Для его доказательства используем таблицу истинности. Вспомним, что логическая импликация $X \Rightarrow Y$ эквивалентна выражению $\overline{X} \vee Y$.

Как видно из таблицы, итоговые столбцы для выражений $(A \Rightarrow B)$ и $(\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ полностью совпадают при всех комбинациях значений $A$ и $B$. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ доказано, так как таблицы истинности для левого и правого выражений идентичны.