Номер 2, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 184.

Условие.

2. Что называют корнем квадратного трёхчлена?

Решение 2.

Решение 8.

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (называемые коэффициентами), причём главный коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Корнем квадратного трёхчлена называется такое значение переменной $x$, при котором значение этого трёхчлена равно нулю.

Таким образом, чтобы найти корни квадратного трёхчлена, необходимо решить соответствующее ему квадратное уравнение:$$ax^2 + bx + c = 0$$Решения (или корни) этого уравнения и будут являться корнями исходного квадратного трёхчлена. В зависимости от значения дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$), квадратный трёхчлен может иметь:

• Два различных действительных корня, если $D > 0$.
• Один действительный корень (или два совпадающих корня), если $D = 0$.
• Не иметь действительных корней, если $D < 0$.

Пример:
Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 2x - 8$.
Чтобы найти его корни, приравняем его к нулю:$x^2 - 2x - 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Так как $D > 0$, у трёхчлена есть два корня. Найдём их по формуле корней квадратного уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Проверим:

• При $x = -2$: $(-2)^2 - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.
• При $x = 4$: $4^2 - 2(4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$.

Значения $-2$ и $4$ обращают трёхчлен в ноль, значит, они являются его корнями.

Ответ: Корнем квадратного трёхчлена называют значение переменной, при котором значение этого трёхчлена равно нулю.