Номер 6, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №6 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 6, страница 211.

Условие.

6. Решите уравнение $x - \sqrt{x} - 12 = 0$.

А) -3; 4

Б) -2; 2

В) 16

Г) 9; 16

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Данное уравнение $x - \sqrt{x} - 12 = 0$ является иррациональным уравнением, которое сводится к квадратному.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
ОДЗ: $x \ge 0$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x}$.
По определению арифметического квадратного корня, значение $t$ должно быть неотрицательным, то есть $t \ge 0$.
Если $t = \sqrt{x}$, то $x = t^2$. Подставим это в исходное уравнение:
$t^2 - t - 12 = 0$.

Получилось квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта.
$a=1, b=-1, c=-12$.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Теперь необходимо проверить найденные корни $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \ge 0$).
$t_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 < 0$), следовательно, это посторонний корень.

У нас остался один подходящий корень $t=4$. Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 4$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
$x = 16$.

Найденный корень $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$).
Выполним проверку, подставив $x=16$ в исходное уравнение:
$16 - \sqrt{16} - 12 = 16 - 4 - 12 = 12 - 12 = 0$.
$0 = 0$.
Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: 16