Номер 846, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 846, страница 216.

Условие.

846. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a+2)x=7;$

2) $(a+6)x=a+6;$

3) $(a+3)x=a^2+6a+9;$

4) $(a^2-4)x=a-2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Рассматриваем уравнение $(a + 2)x = 7$. Это линейное уравнение относительно $x$. Его решение зависит от значения коэффициента при $x$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $a + 2$:

$x = \frac{7}{a + 2}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$a + 2 = 0$, то есть $a = -2$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$( -2 + 2 )x = 7$

$0 \cdot x = 7$

$0 = 7$

Получено неверное равенство, следовательно, при $a = -2$ уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = -2$, корней нет; если $a \neq -2$, то $x = \frac{7}{a + 2}$.

2) Рассматриваем уравнение $(a + 6)x = a + 6$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a + 6 \neq 0$, то есть $a \neq -6$.

Разделим обе части уравнения на $a + 6$:

$x = \frac{a + 6}{a + 6}$

$x = 1$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$a + 6 = 0$, то есть $a = -6$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$( -6 + 6 )x = -6 + 6$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Получено верное равенство, которое выполняется для любого значения $x$. Следовательно, при $a = -6$ корнем уравнения является любое число.

Ответ: если $a = -6$, то $x$ - любое число; если $a \neq -6$, то $x = 1$.

3) Рассматриваем уравнение $(a + 3)x = a^2 + 6a + 9$.

Заметим, что правая часть уравнения является полным квадратом: $a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2$.

Тогда уравнение принимает вид: $(a + 3)x = (a + 3)^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a + 3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$.

Разделим обе части уравнения на $a + 3$:

$x = \frac{(a + 3)^2}{a + 3}$

$x = a + 3$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$a + 3 = 0$, то есть $a = -3$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$( -3 + 3 )x = (-3)^2 + 6(-3) + 9$

$0 \cdot x = 9 - 18 + 9$

$0 \cdot x = 0$

Получено верное равенство, которое выполняется для любого значения $x$. Следовательно, при $a = -3$ корнем уравнения является любое число.

Ответ: если $a = -3$, то $x$ - любое число; если $a \neq -3$, то $x = a + 3$.

4) Рассматриваем уравнение $(a^2 - 4)x = a - 2$.

Разложим на множители коэффициент при $x$: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Уравнение принимает вид: $(a - 2)(a + 2)x = a - 2$.

Решение зависит от значения коэффициента при $x$, который обращается в ноль при $a = 2$ и $a = -2$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a^2 - 4 \neq 0$, то есть $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

Разделим обе части уравнения на $a^2 - 4$:

$x = \frac{a - 2}{a^2 - 4} = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)}$

Так как $a \neq 2$, то $a - 2 \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$x = \frac{1}{a + 2}$

Случай 2: $a = 2$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$(2^2 - 4)x = 2 - 2$

$0 \cdot x = 0$

Получено верное равенство, которое выполняется для любого значения $x$. Следовательно, при $a = 2$ корнем уравнения является любое число.

Случай 3: $a = -2$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$((-2)^2 - 4)x = -2 - 2$

$(4 - 4)x = -4$

$0 \cdot x = -4$

Получено неверное равенство, следовательно, при $a = -2$ уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = -2$, корней нет; если $a = 2$, $x$ - любое число; если $a \neq 2$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{1}{a + 2}$.