Номер 4, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

4.Решение:

Запишем исходное выражение:

$$1 - \frac{3x - 1}{9x^2 + 6x + 1} - \frac{3x}{3x + 1}$$

Разложим знаменатель второй дроби на множители с помощью формулы квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$:

$$9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x + 1)^2$$

Значит, наименьшим общим знаменателем для всех слагаемых является $(3x + 1)^2$.

Приведём все дроби к общему знаменателю $(3x + 1)^2$:

• Для единицы дополнительный множитель равен $(3x + 1)^2$: $$1 = \frac{(3x + 1)^2}{(3x + 1)^2} = \frac{9x^2 + 6x + 1}{(3x + 1)^2}$$
• У второй дроби знаменатель уже совпадает с общим: $$\frac{3x - 1}{(3x + 1)^2}$$
• Для третьей дроби дополнительный множитель равен $(3x + 1)$: $$\frac{3x(3x + 1)}{(3x + 1)^2} = \frac{9x^2 + 3x}{(3x + 1)^2}$$

Запишем выражение под общей дробной чертой:

$$\frac{(9x^2 + 6x + 1) - (3x - 1) - (9x^2 + 3x)}{(3x + 1)^2}$$

Раскроем скобки в числителе, меняя знаки слагаемых на противоположные там, где перед скобкой стоит знак «минус»:

$$\frac{9x^2 + 6x + 1 - 3x + 1 - 9x^2 - 3x}{(3x + 1)^2}$$

Приведём подобные слагаемые в числителе:

• Слагаемые со второй степенью: $9x^2 - 9x^2 = 0$
• Слагаемые с первой степенью: $6x - 3x - 3x = 0$
• Числовые слагаемые: $1 + 1 = 2$

В результате получаем:

$$\frac{2}{(3x + 1)^2}$$

Ответ: $\frac{2}{(3x + 1)^2}$