Номер 4, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

4.Решение:

Для того чтобы упростить данное рациональное выражение, выполним действия по порядку:

$$1 + \frac{5a - 1}{a^2 - 10a + 25} - \frac{a}{a - 5}$$

Шаг 1. Разложим знаменатель дроби на множители.
Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для знаменателя второй дроби: $$a^2 - 10a + 25 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a - 5)^2$$

Подставим полученное выражение: $$1 + \frac{5a - 1}{(a - 5)^2} - \frac{a}{a - 5}$$

Шаг 2. Приведем все слагаемые к общему знаменателю.
Общим знаменателем для выражения является $(a - 5)^2$. Дополнительные множители:

• для числа $1$: $(a - 5)^2$;
• для дроби $\frac{5a - 1}{(a - 5)^2}$: $1$;
• для дроби $\frac{a}{a - 5}$: $(a - 5)$.

Запишем выражение под одной дробной чертой: $$\frac{(a - 5)^2 + (5a - 1) - a(a - 5)}{(a - 5)^2}$$

Шаг 3. Раскроем скобки в числителе.
Раскрываем квадрат разности и перемножаем одночлен на многочлен: $$(a - 5)^2 = a^2 - 10a + 25$$ $$-a(a - 5) = -a^2 + 5a$$

Подставим это в числитель: $$\frac{a^2 - 10a + 25 + 5a - 1 - a^2 + 5a}{(a - 5)^2}$$

Шаг 4. Приведем подобные слагаемые в числителе:

• Слагаемые со второй степенью: $a^2 - a^2 = 0$;
• Слагаемые с первой степенью: $-10a + 5a + 5a = 0$;
• Числовые слагаемые: $25 - 1 = 24$.

В результате получаем: $$\frac{24}{(a - 5)^2}$$

Ответ: $\frac{24}{(a - 5)^2}$ при $a \neq 5$.