Номер 2, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\frac{2a - 1}{3a} + \frac{a + 2}{6a}$

Решение:

1. Находим общий знаменатель для дробей. Знаменатели равны $3a$ и $6a$. Наименьшим общим знаменателем будет $6a$.

2. Находим дополнительные множители: для первой дроби это $6a : 3a = 2$, для второй дроби — $6a : 6a = 1$.

3. Домножаем числитель первой дроби на $2$ и записываем сумму под одной дробной чертой:

$$\frac{2(2a - 1) + (a + 2)}{6a}$$

4. Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$$\frac{4a - 2 + a + 2}{6a} = \frac{5a}{6a}$$

5. Сокращаем полученную дробь на общую переменную $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$$\frac{5a}{6a} = \frac{5}{6}$$

Ответ: $\frac{5}{6}$

б) $\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}$

Решение:

1. Знаменатели дробей $x - 3$ и $x + 3$ не имеют общих множителей, поэтому их общим знаменателем будет произведение $(x - 3)(x + 3)$.

2. Находим дополнительные множители: для первой дроби это $(x + 3)$, для второй дроби — $(x - 3)$.

3. Записываем разность дробей под единой дробной чертой:

$$\frac{1 \cdot (x + 3) - 1 \cdot (x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}$$

4. Раскрываем скобки в числителе, учитывая знак «минус» перед второй скобкой:

$$\frac{x + 3 - x + 3}{(x - 3)(x + 3)}$$

5. Приводим подобные слагаемые в числителе ($x - x = 0$, $3 + 3 = 6$), а знаменатель сворачиваем по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$$\frac{6}{x^2 - 3^2} = \frac{6}{x^2 - 9}$$

Ответ: $\frac{6}{x^2 - 9}$ (или $\frac{6}{(x - 3)(x + 3)}$)