номер 2, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Дано:
$\triangle ABC$ — прямоугольный;
периметр $P = 90\text{ см}$;
гипотенуза $c = 41\text{ см}$.

Найти:
Площадь треугольника $S$.

Решение:

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $a$ и $b$.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:
$P = a + b + c$

Подставим известные значения:
$a + b + 41 = 90$
$a + b = 90 - 41$
$a + b = 49\text{ см}$

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$
$a^2 + b^2 = 41^2$
$a^2 + b^2 = 1681$

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Перегруппируем слагаемые:
$(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$

Подставим в эту формулу найденные величины $(a + b = 49)$ и $(a^2 + b^2 = 1681)$:
$49^2 = 1681 + 2ab$
$2401 = 1681 + 2ab$
$2ab = 2401 - 1681$
$2ab = 720$
$ab = 360$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

Подставим значение произведения $ab$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 360 = 180\text{ см}^2$

Ответ: $180\text{ см}^2$